Решение:

Вариант 1 №1. Найдите значение выражения: \[ \sqrt[3]{27} - \sqrt[4]{81} + \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \sqrt[4]{25} - \sqrt[4]{9} \] Решение: 1) Вычислим корни: \( \sqrt[3]{27} = 3 \), так как \( 3^3 = 27 \). \( \sqrt[4]{81} = 3 \), так как \( 3^4 = 81 \). 2) Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \): \[ \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \] 3) Упростим оставшиеся корни: \( \sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^2} = \sqrt{5} \) \( \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3} \) 4) Подставим всё в исходное выражение: \[ 3 - 3 + (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{5} - \sqrt{3} = 0 \] Ответ: 0. №2. Найдите значение выражения \( \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x \sqrt{x}}} \) при \( x = \sqrt[11]{125^8} \). Решение: 1) Упростим выражение с корнями, переводя их в степени: \[ \sqrt[3]{x \cdot (x \cdot x^{1/2})^{1/4}} = \sqrt[3]{x \cdot (x^{3/2})^{1/4}} = \sqrt[3]{x \cdot x^{3/8}} = \sqrt[3]{x^{11/8}} = (x^{11/8})^{1/3} = x^{11/24} \] 2) Упростим значение \( x \): \[ x = \sqrt[11]{(5^3)^8} = \sqrt[11]{5^{24}} = 5^{24/11} \] 3) Подставим \( x \) в упрощенное выражение: \[ (5^{24/11})^{11/24} = 5^{\frac{24}{11} \cdot \frac{11}{24}} = 5^1 = 5 \] Ответ: 5. №3. Упростите выражение: \( ((\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) \). Решение: 1) Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) к первой части выражения: \[ (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2 = \sqrt{x} - \sqrt{y} \] 2) Перемножим полученный результат со второй скобкой: \[ (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y \] Ответ: \( x - y \). №4. Решите уравнение: а) \( \sqrt{5x - 1 + 3x^2} = 3x \) Решение: Возведем обе части в квадрат при условии \( 3x \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 0 \)): \[ 5x - 1 + 3x^2 = (3x)^2 \] \[ 5x - 1 + 3x^2 = 9x^2 \] \[ 6x^2 - 5x + 1 = 0 \] Находим дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \). \[ x_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = 0,5 \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Оба корня больше 0, подходят по условию. Ответ: 0,5; \( \frac{1}{3} \). б) \( 1 - \sqrt{21 - x} = 2 - x \) Решение: Перенесем единицу в правую часть: \[ -\sqrt{21 - x} = 1 - x \] Умножим на -1: \[ \sqrt{21 - x} = x - 1 \] Возведем в квадрат при условии \( x - 1 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 1 \)): \[ 21 - x = (x - 1)^2 \] \[ 21 - x = x^2 - 2x + 1 \] \[ x^2 - x - 20 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = -4 \). Условию \( x \ge 1 \) удовлетворяет только \( x = 5 \). Ответ: 5. №5. Решите неравенство: \( \sqrt{x + 8} \le 2 \). Решение: Учитываем область определения (подкоренное выражение не отрицательно) и возводим в квадрат: \[ \begin{cases} x + 8 \ge 0 \\ x + 8 \le 2^2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \ge -8 \\ x + 8 \le 4 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \ge -8 \\ x \le -4 \end{cases} \] Ответ: \( x \in [-8; -4] \).