Решение:

Задача № 4 Найдите общее решение дифференциального уравнения: \[ y'' + 2y' + y = 6e^{-x} \] Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения \( y_{оо} \) и частного решения неоднородного уравнения \( y_{чн} \): \[ y = y_{оо} + y_{чн} \] 1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[ y'' + 2y' + y = 0 \] Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 2k + 1 = 0 \] \[ (k + 1)^2 = 0 \] Корни характеристического уравнения: \[ k_1 = k_2 = -1 \] Так как корни действительные и кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = (C_1 + C_2 x)e^{-x} \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения: Правая часть имеет вид \( f(x) = 6e^{-x} \). Здесь \( \alpha = -1 \). Заметим, что число \( -1 \) является корнем характеристического уравнения кратности \( r = 2 \). Следовательно, частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = Ax^2 e^{-x} \] Найдем производные: \[ y'_{чн} = A(2x e^{-x} - x^2 e^{-x}) = A(2x - x^2)e^{-x} \] \[ y''_{чн} = A(2e^{-x} - 2x e^{-x} - (2x e^{-x} - x^2 e^{-x})) = A(2 - 4x + x^2)e^{-x} \] Подставим \( y_{чн} \), \( y'_{чн} \) и \( y''_{чн} \) в исходное уравнение: \[ A(2 - 4x + x^2)e^{-x} + 2A(2x - x^2)e^{-x} + Ax^2 e^{-x} = 6e^{-x} \] Разделим обе части на \( e^{-x} \) и раскроем скобки: \[ A(2 - 4x + x^2 + 4x - 2x^2 + x^2) = 6 \] \[ A(2) = 6 \] \[ A = 3 \] Таким образом, частное решение: \[ y_{чн} = 3x^2 e^{-x} \] 3. Запишем общее решение исходного уравнения: \[ y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + 3x^2 e^{-x} \] Или в более компактном виде: \[ y = (C_1 + C_2 x + 3x^2)e^{-x} \] Ответ: \( y = (C_1 + C_2 x + 3x^2)e^{-x} \)