Решение: Самостоятельная работа. Вариант 2. Дробные рациональные уравнения

Самостоятельная работа. Вариант 2. Тема: Решение дробных рациональных уравнений. Задание 1. Решите уравнения: а) \( 3x + \frac{3}{x} = 6 \) Умножим обе части уравнения на \( x \), при условии \( x \neq 0 \): \[ 3x^2 + 3 = 6x \] \[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \] Разделим на 3: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1. б) \( 4x + \frac{4}{x} = 8 \) Умножим на \( x \), при условии \( x \neq 0 \): \[ 4x^2 + 4 = 8x \] \[ 4x^2 - 8x + 4 = 0 \] Разделим на 4: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1. в) \( \frac{2x^2}{2} - \frac{12x}{4} = 2x \) Упростим дроби: \[ x^2 - 3x = 2x \] \[ x^2 - 5x = 0 \] \[ x(x - 5) = 0 \] \[ x_1 = 0; \quad x_2 = 5 \] Ответ: 0; 5. г) \( \frac{-x^2 + 6x}{9} - \frac{2x}{3} = -9x \) Умножим всё уравнение на 9: \[ -x^2 + 6x - 3(2x) = -81x \] \[ -x^2 + 6x - 6x = -81x \] \[ -x^2 + 81x = 0 \] \[ x(-x + 81) = 0 \] \[ x_1 = 0; \quad x_2 = 81 \] Ответ: 0; 81. Задание 2. Найдите корни уравнения: а) \( \frac{x^2 - 3x - 4}{x + 1} = 0 \) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: 1) \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 4, x_2 = -1 \). 2) ОДЗ: \( x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \). Корень \( x = -1 \) не подходит по ОДЗ. Ответ: 4. б) \( x + 7 = \frac{8}{x} \) Умножим на \( x \), при условии \( x \neq 0 \): \[ x^2 + 7x = 8 \] \[ x^2 + 7x - 8 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = -8 \). Оба корня удовлетворяют условию \( x \neq 0 \). Ответ: -8; 1. в) \( \frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4} \) Заметим, что \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \). Умножим на общий знаменатель при \( x \neq \pm 2 \): \[ x(x - 2) + (x + 2)^2 = 8 \] \[ x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 8 \] \[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = -2 \). Проверим ОДЗ: \( x \neq -2 \), значит корень -2 посторонний. Ответ: 1.