Решение задач по статистике: Выборочная дисперсия

Ниже представлены решения задач с пятого снимка экрана, оформленные для записи в тетрадь. Вопрос 15. Условие: Из генеральной совокупности извлечена выборка объема \( n \). Найти выборочную дисперсию (ответ округлить до сотых). Данные: \( X_i: 2, 3, 4 \); частоты \( n_i: 2, 2, 6 \). Решение: 1) Найдем выборочное среднее \( \bar{x} \): Объем выборки \( n = 2 + 2 + 6 = 10 \). \[ \bar{x} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 6}{10} = \frac{4 + 6 + 24}{10} = 3,4 \] 2) Вычислим выборочную дисперсию \( D_B \) по формуле: \[ D_B = \frac{\sum n_i x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \] \[ \sum n_i x_i^2 = 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + 6 \cdot 4^2 = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 + 6 \cdot 16 = 8 + 18 + 96 = 122 \] \[ D_B = \frac{122}{10} - (3,4)^2 = 12,2 - 11,56 = 0,64 \] Ответ: 0,64 Вопрос 16. Условие: Дискретная случайная величина X задана законом распределения. Вычислить дисперсию (ответ округлить до сотых). Решение: 1) Найдем математическое ожидание \( M(X) \): \[ M(X) = 0,4 \cdot 0,19 + 0,6 \cdot 0,36 + 0,8 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,2 = 0,076 + 0,216 + 0,2 + 0,2 = 0,692 \] 2) Найдем математическое ожидание квадрата величины \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = 0,4^2 \cdot 0,19 + 0,6^2 \cdot 0,36 + 0,8^2 \cdot 0,25 + 1^2 \cdot 0,2 \] \[ M(X^2) = 0,16 \cdot 0,19 + 0,36 \cdot 0,36 + 0,64 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,2 \] \[ M(X^2) = 0,0304 + 0,1296 + 0,16 + 0,2 = 0,52 \] 3) Вычислим дисперсию \( D(X) \): \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 0,52 - (0,692)^2 = 0,52 - 0,478864 = 0,041136 \] Округляем до сотых: 0,04. Ответ: 0,04 Вопрос 17. Условие: Пусть X — нормально распределенная величина. \( M[X] = 2 \), \( D[X] = 6 \). Найти вид плотности распределения. Решение: Общий вид плотности нормального распределения: \[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} \] Где \( a = M[X] = 2 \), а \( \sigma^2 = D[X] = 6 \). Следовательно, \( \sigma = \sqrt{6} \). Подставим значения: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{6} \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-2)^2}{2 \cdot 6}} = \frac{1}{\sqrt{12\pi}} e^{-\frac{(x-2)^2}{12}} \] Этот результат соответствует варианту "a". Ответ: a. \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{12\pi}} e^{-\frac{(x-2)^2}{12}} \)