Решение задач по теории вероятностей и математической статистике

Решение задач по теории вероятностей и математической статистике. Задача 1. Мода \( M[X] \) для выборки (первая строка \( X_i \), вторая — частота \( n_i \)): \( X_i \): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \( n_i \): 3, 1, 9, 6, 2, 4, 3, 5, 2, 3 Решение: Модой \( M_o \) дискретного статистического распределения называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Проанализируем вторую строку (частоты): Наибольшее значение частоты равно 9. Это значение соответствует варианте \( X_i = 3 \). Следовательно, мода \( M[X] = 3 \). Ответ: 3. (В предложенных вариантах на фото есть опечатка в нумерации, правильный выбор — значение 3). Задача 2. Найти выборочную дисперсию для выборки: \( X_i \): 2, 3, 4 \( n_i \): 2, 2, 6 Решение: 1) Найдем объем выборки \( n \): \[ n = \sum n_i = 2 + 2 + 6 = 10 \] 2) Вычислим выборочную среднюю \( \bar{x}_b \): \[ \bar{x}_b = \frac{\sum X_i \cdot n_i}{n} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 6}{10} = \frac{4 + 6 + 24}{10} = \frac{34}{10} = 3,4 \] 3) Вычислим выборочную дисперсию \( D_b \): \[ D_b = \frac{\sum n_i \cdot (X_i - \bar{x}_b)^2}{n} \] \[ D_b = \frac{2 \cdot (2 - 3,4)^2 + 2 \cdot (3 - 3,4)^2 + 6 \cdot (4 - 3,4)^2}{10} \] \[ D_b = \frac{2 \cdot (-1,4)^2 + 2 \cdot (-0,4)^2 + 6 \cdot (0,6)^2}{10} \] \[ D_b = \frac{2 \cdot 1,96 + 2 \cdot 0,16 + 6 \cdot 0,36}{10} \] \[ D_b = \frac{3,92 + 0,32 + 2,16}{10} = \frac{6,4}{10} = 0,64 \] Ответ: 0,64. Задача 3. Проверка гипотезы о равенстве средних. Дано: \( \bar{x} = 9,35 \), \( s_x^2 = 0,23 \), \( n_1 = 6 \) \( \bar{y} = 8,48 \), \( s_y^2 = 0,98 \), \( n_2 = 11 \) Найти расчетное значение критерия \( |T_p| \). Решение: Так как дисперсии неизвестны, но предполагаются равными, используем формулу для t-критерия Стьюдента. 1) Найдем средневзвешенную дисперсию: \[ s^2 = \frac{(n_1 - 1)s_x^2 + (n_2 - 1)s_y^2}{n_1 + n_2 - 2} \] \[ s^2 = \frac{(6 - 1) \cdot 0,23 + (11 - 1) \cdot 0,98}{6 + 11 - 2} = \frac{5 \cdot 0,23 + 10 \cdot 0,98}{15} = \frac{1,15 + 9,8}{15} = \frac{10,95}{15} = 0,73 \] 2) Вычислим расчетное значение \( T_p \): \[ T_p = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{s^2 \cdot (\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} \] \[ T_p = \frac{9,35 - 8,48}{\sqrt{0,73 \cdot (\frac{1}{6} + \frac{1}{11})}} = \frac{0,87}{\sqrt{0,73 \cdot (\frac{11 + 6}{66})}} = \frac{0,87}{\sqrt{0,73 \cdot \frac{17}{66}}} \] \[ T_p \approx \frac{0,87}{\sqrt{0,73 \cdot 0,2575}} \approx \frac{0,87}{\sqrt{0,188}} \approx \frac{0,87}{0,4336} \approx 2,006 \] Округляя до тысячных, получаем \( |T_p| = 2,006 \). Ответ: 2,006.