Решение задач по теории вероятностей и статистике

Решение задач по теории вероятностей и математической статистике. Вопрос 15. Условие: Дискретная случайная величина \(X\) задана законом распределения. Вычислить значение \(C\). Решение: Основное свойство закона распределения дискретной случайной величины заключается в том, что сумма вероятностей всех возможных значений равна единице: \[ \sum P_i = 1 \] Исходя из таблицы, имеем: \[ 0,21 + C + 0,24 + 0,3 = 1 \] Сложим известные вероятности: \[ 0,75 + C = 1 \] Находим \(C\): \[ C = 1 - 0,75 \] \[ C = 0,25 \] Ответ: 0,25 Вопрос 16. Условие: Дискретная случайная величина \(X\) задана законом распределения. Вычислить дисперсию данной случайной величины. Решение: 1. Сначала найдем математическое ожидание \(M(X)\): \[ M(X) = \sum x_i p_i \] \[ M(X) = 11 \cdot 0,22 + 12 \cdot 0,3 + 13 \cdot 0,18 + 14 \cdot 0,3 \] \[ M(X) = 2,42 + 3,6 + 2,34 + 4,2 = 12,56 \] 2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины \(M(X^2)\): \[ M(X^2) = \sum x_i^2 p_i \] \[ M(X^2) = 11^2 \cdot 0,22 + 12^2 \cdot 0,3 + 13^2 \cdot 0,18 + 14^2 \cdot 0,3 \] \[ M(X^2) = 121 \cdot 0,22 + 144 \cdot 0,3 + 169 \cdot 0,18 + 196 \cdot 0,3 \] \[ M(X^2) = 26,62 + 43,2 + 30,42 + 58,8 = 159,04 \] 3. Вычислим дисперсию \(D(X)\) по формуле: \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \] \[ D(X) = 159,04 - (12,56)^2 \] \[ D(X) = 159,04 - 157,7536 = 1,2864 \] Округляем до десятых, как указано в условии: \[ D(X) \approx 1,3 \] Ответ: 1,3 Вопрос 17. Условие: Уравнение прямой регрессии \(Y\) на \(X\) имеет вид: Решение: Уравнение линейной регрессии \(Y\) на \(X\) записывается через коэффициенты корреляции и средние квадратические отклонения следующим образом: \[ y - \bar{y} = r_{xy} \frac{S_y}{S_x} (x - \bar{x}) \] Где \(r_{xy}\) — коэффициент корреляции, \(S_y\) и \(S_x\) — средние квадратические отклонения соответствующих величин. Данному виду соответствует вариант №3. Ответ: 3. \( y - \bar{y} = r_{xy} \frac{S_y}{S_x} (x - \bar{x}) \)