Решение задачи: Наклонные к плоскости (2 вариант)

2 вариант Задача 1 Дано: \( D \notin \alpha \) \( DK, DB \) — наклонные \( \angle(DK, \alpha) = 45^\circ \) \( \angle(DB, \alpha) = 60^\circ \) \( DB = 10\sqrt{3} \) см Найти: проекцию \( DK \) на \( \alpha \). Решение: 1. Опустим перпендикуляр \( DO \) из точки \( D \) на плоскость \( \alpha \). Тогда \( DO \perp \alpha \). 2. Отрезки \( OK \) и \( OB \) являются проекциями наклонных \( DK \) и \( DB \) на плоскость \( \alpha \). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( DOB \) (\( \angle DOB = 90^\circ \)): \[ DO = DB \cdot \sin(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot 3 = 15 \text{ см} \] 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( DOK \) (\( \angle DOK = 90^\circ \)): Так как \( \angle DKO = 45^\circ \), то треугольник равнобедренный, значит \( OK = DO \). \[ OK = 15 \text{ см} \] Ответ: 15 см. Задача 2 Дано: \( \alpha \perp \beta \), \( \alpha \cap \beta = c \) \( AC \perp c, BD \perp c \) \( AC = 3 \) м, \( BD = 4 \) м, \( CD = 12 \) м Найти: \( AB \). Решение: 1. Так как плоскости перпендикулярны и \( AC \perp c \), то \( AC \perp \beta \). Следовательно, \( AC \) перпендикулярен любой прямой в плоскости \( \beta \), то есть \( AC \perp CB \). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BDC \) в плоскости \( \beta \) (\( \angle BDC = 90^\circ \)): По теореме Пифагора: \[ CB^2 = BD^2 + CD^2 = 4^2 + 12^2 = 16 + 144 = 160 \] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACB \) (\( \angle ACB = 90^\circ \)): По теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 160} = \sqrt{9 + 160} = \sqrt{169} = 13 \text{ м} \] Ответ: 13 м. Задача 3 Дано: \( SO \perp \alpha \) \( SB = 17 \) см, \( OB = 15 \) см, \( SA = 10 \) см Найти: \( AO \). Решение: 1. Из прямоугольного треугольника \( SOB \) (\( \angle SOB = 90^\circ \)) по теореме Пифагора найдем высоту \( SO \): \[ SO^2 = SB^2 - OB^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \] \[ SO = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \] 2. Из прямоугольного треугольника \( SOA \) (\( \angle SOA = 90^\circ \)) по теореме Пифагора найдем проекцию \( AO \): \[ AO^2 = SA^2 - SO^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \] \[ AO = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \] Ответ: 6 см. Задача 4 Дано: \( l_1, l_2 \) — наклонные, \( l_1 - l_2 = 5 \) см \( p_1 = 18 \) см, \( p_2 = 7 \) см \( h \) — расстояние до плоскости Найти: \( h \). Решение: 1. Пусть \( l_2 = x \), тогда \( l_1 = x + 5 \). 2. Выразим квадрат высоты \( h^2 \) из двух прямоугольных треугольников по теореме Пифагора: \[ h^2 = l_1^2 - p_1^2 = (x+5)^2 - 18^2 \] \[ h^2 = l_2^2 - p_2^2 = x^2 - 7^2 \] 3. Приравняем выражения: \[ (x+5)^2 - 324 = x^2 - 49 \] \[ x^2 + 10x + 25 - 324 = x^2 - 49 \] \[ 10x - 299 = -49 \] \[ 10x = 250 \] \[ x = 25 \text{ см} \] 4. Найдем \( h \): \[ h^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \] \[ h = \sqrt{576} = 24 \text{ см} \] Ответ: 24 см.