Вычисление предела функции f(x) = (5x^2 - x - 4) / (3x - x^2 - 2)

Задание: Вычислить пределы функции при различных значениях \(x_0\). Дана функция: \[ f(x) = \frac{5x^2 - x - 4}{3x - x^2 - 2} \] а) При \(x_0 = -1\): Подставим значение \(x = -1\) в выражение: \[ \lim_{x \to -1} \frac{5x^2 - x - 4}{3x - x^2 - 2} = \frac{5(-1)^2 - (-1) - 4}{3(-1) - (-1)^2 - 2} = \frac{5 + 1 - 4}{-3 - 1 - 2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} \] Ответ: \(-\frac{1}{3}\). б) При \(x_0 = 1\): Подставим \(x = 1\): \[ \frac{5(1)^2 - 1 - 4}{3(1) - 1^2 - 2} = \frac{0}{0} \] Получена неопределенность типа \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя \(5x^2 - x - 4\): корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = -0.8\). Разложение: \(5(x - 1)(x + 0.8) = (x - 1)(5x + 4)\). Для знаменателя \(-x^2 + 3x - 2\): корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). Разложение: \(-(x - 1)(x - 2) = (x - 1)(2 - x)\). Вычисляем предел: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(5x + 4)}{(x - 1)(2 - x)} = \lim_{x \to 1} \frac{5x + 4}{2 - x} = \frac{5(1) + 4}{2 - 1} = \frac{9}{1} = 9 \] Ответ: \(9\). в) При \(x_0 = \infty\): Для нахождения предела на бесконечности разделим числитель и знаменатель на старшую степень \(x^2\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - x - 4}{-x^2 + 3x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} - \frac{4}{x^2}}{-\frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x} - \frac{4}{x^2}}{-1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} \] Так как при \(x \to \infty\) дроби вида \(\frac{k}{x^n}\) стремятся к нулю: \[ \frac{5 - 0 - 0}{-1 + 0 - 0} = \frac{5}{-1} = -5 \] Ответ: \(-5\).