Решение предела: lim (x->0) (4x cos 5x) / sin 8x

Задание: Вычислить предел функции. \[ \lim_{x \to 0} \frac{4x \cos 5x}{\sin 8x} \] Решение: Для решения данного предела воспользуемся первым замечательным пределом, который гласит, что при \( x \to 0 \) отношение синуса малого аргумента к самому аргументу равно единице: \[ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1 \text{ или } \lim_{\alpha \to 0} \frac{\alpha}{\sin \alpha} = 1 \] Преобразуем наше выражение, чтобы выделить это отношение. Разделим и умножим знаменатель на \( 8x \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{4x \cos 5x}{\sin 8x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4x}{\sin 8x} \cdot \cos 5x \right) \] Чтобы применить замечательный предел для \( \sin 8x \), нам нужно в числителе иметь \( 8x \). Домножим числитель и знаменатель на 2: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 4x \cdot \cos 5x}{2 \cdot \sin 8x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{8x}{\sin 8x} \cdot \frac{\cos 5x}{2} \right) \] Теперь воспользуемся свойствами пределов (предел произведения равен произведению пределов): \[ \lim_{x \to 0} \frac{8x}{\sin 8x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x}{2} \] 1. Первый множитель по первому замечательному пределу равен 1: \[ \lim_{x \to 0} \frac{8x}{\sin 8x} = 1 \] 2. Во втором множителе подставим \( x = 0 \). Так как \( \cos 0 = 1 \), получаем: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5 \cdot 0)}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2} \] Перемножаем результаты: \[ 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5 \] Ответ: 0,5.