Решение заданий по алгебре: Представление в виде многочлена и разложение на множители

Вариант 1 Задание 1. Представьте в виде многочлена выражение: 1) \( 7m(m^3 - 8m^2 + 9) = 7m \cdot m^3 - 7m \cdot 8m^2 + 7m \cdot 9 = 7m^4 - 56m^3 + 63m \) 2) \( (x - 2)(2x + 3) = x \cdot 2x + x \cdot 3 - 2 \cdot 2x - 2 \cdot 3 = 2x^2 + 3x - 4x - 6 = 2x^2 - x - 6 \) 3) \( (3m - 4n)(5m + 8n) = 15m^2 + 24mn - 20mn - 32n^2 = 15m^2 + 4mn - 32n^2 \) 4) \( (y + 3)(y^2 + y - 6) = y^3 + y^2 - 6y + 3y^2 + 3y - 18 = y^3 + 4y^2 - 3y - 18 \) Задание 2. Разложите на множители: 1) \( 12ab - 18b^2 = 6b(2a - 3b) \) 2) \( 21x^7 - 7x^4 = 7x^4(3x^3 - 1) \) 3) \( 8x - 8y + ax - ay = 8(x - y) + a(x - y) = (x - y)(8 + a) \) Задание 3. Решите уравнение: \( 5x^2 - 15x = 0 \) \( 5x(x - 3) = 0 \) \( 5x = 0 \) или \( x - 3 = 0 \) \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \) Ответ: 0; 3. Задание 4. Упростите выражение: \( 2c(3c - 7) - (c - 1)(c + 4) = 6c^2 - 14c - (c^2 + 4c - c - 4) = 6c^2 - 14c - c^2 - 3c + 4 = 5c^2 - 17c + 4 \) Задание 5. Решите уравнение: 1) \( \frac{4x - 1}{9} - \frac{x + 2}{6} = 2 \) Умножим обе части на 18: \( 2(4x - 1) - 3(x + 2) = 36 \) \( 8x - 2 - 3x - 6 = 36 \) \( 5x - 8 = 36 \) \( 5x = 44 \) \( x = 8,8 \) Ответ: 8,8. 2) \( (3x - 5)(2x + 7) = (3x + 1)(2x - 3) + 4x \) \( 6x^2 + 21x - 10x - 35 = 6x^2 - 9x + 2x - 3 + 4x \) \( 6x^2 + 11x - 35 = 6x^2 - 3x - 3 \) \( 11x + 3x = 35 - 3 \) \( 14x = 32 \) \( x = \frac{32}{14} = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \) Ответ: \( 2\frac{2}{7} \). Задание 6. Найдите значение выражения: \( 14xy - 2y + 7x - 1 = 2y(7x - 1) + (7x - 1) = (7x - 1)(2y + 1) \) Подставим \( x = 1\frac{1}{7} = \frac{8}{7} \) и \( y = -0,6 \): \( (7 \cdot \frac{8}{7} - 1)(2 \cdot (-0,6) + 1) = (8 - 1)(-1,2 + 1) = 7 \cdot (-0,2) = -1,4 \) Ответ: -1,4. Задание 7. Докажите кратность: \( 81^5 - 27^6 = (3^4)^5 - (3^3)^6 = 3^{20} - 3^{18} = 3^{18}(3^2 - 1) = 3^{18}(9 - 1) = 3^{18} \cdot 8 \) Так как один из множителей равен 8, то и всё произведение кратно 8. Что и требовалось доказать. Задание 8. Разложите на множители трёхчлен: \( x^2 - 12x + 20 = x^2 - 2x - 10x + 20 = x(x - 2) - 10(x - 2) = (x - 2)(x - 10) \)