Решение: Многочлены, Разложение на Множители, Уравнения (Вариант 2)

Вариант 2 Задание 1. Представьте в виде многочлена выражение: 1) \( 2x(x^4 - 5x^3 + 3) = 2x \cdot x^4 - 2x \cdot 5x^3 + 2x \cdot 3 = 2x^5 - 10x^4 + 6x \) 2) \( (y + 2)(3y - 5) = y \cdot 3y - y \cdot 5 + 2 \cdot 3y - 2 \cdot 5 = 3y^2 - 5y + 6y - 10 = 3y^2 + y - 10 \) 3) \( (7x - 3y)(2x + 5y) = 14x^2 + 35xy - 6xy - 15y^2 = 14x^2 + 29xy - 15y^2 \) 4) \( (x - 1)(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x - x^2 + x + 2 = x^3 - 2x^2 - x + 2 \) Задание 2. Разложите на множители: 1) \( 15xy - 25y^2 = 5y(3x - 5y) \) 2) \( 12a^5 - 4a^4 = 4a^4(3a - 1) \) 3) \( 6a - 6y + ab - by = 6(a - y) + b(a - y) = (a - y)(6 + b) \) Задание 3. Решите уравнение: \( 7x^2 + 21x = 0 \) \( 7x(x + 3) = 0 \) \( 7x = 0 \) или \( x + 3 = 0 \) \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -3 \) Ответ: 0; -3. Задание 4. Упростите выражение: \( 3m(2m - 1) - (m + 3)(m - 2) = 6m^2 - 3m - (m^2 - 2m + 3m - 6) = 6m^2 - 3m - m^2 - m + 6 = 5m^2 - 4m + 6 \) Задание 5. Решите уравнение: 1) \( \frac{5x + 1}{6} - \frac{x + 3}{4} = 3 \) Умножим обе части на 12: \( 2(5x + 1) - 3(x + 3) = 36 \) \( 10x + 2 - 3x - 9 = 36 \) \( 7x - 7 = 36 \) \( 7x = 43 \) \( x = \frac{43}{7} = 6\frac{1}{7} \) Ответ: \( 6\frac{1}{7} \). 2) \( (4x - 1)(3x - 2) = (6x + 1)(2x + 3) - 4x \) \( 12x^2 - 8x - 3x + 2 = 12x^2 + 18x + 2x + 3 - 4x \) \( 12x^2 - 11x + 2 = 12x^2 + 16x + 3 \) \( -11x - 16x = 3 - 2 \) \( -27x = 1 \) \( x = -\frac{1}{27} \) Ответ: \( -\frac{1}{27} \). Задание 6. Найдите значение выражения: \( 18ab - 27a + 2b - 3 = 9a(2b - 3) + (2b - 3) = (2b - 3)(9a + 1) \) Подставим \( a = -1\frac{1}{9} = -\frac{10}{9} \) и \( b = 1,2 \): \( (2 \cdot 1,2 - 3)(9 \cdot (-\frac{10}{9}) + 1) = (2,4 - 3)(-10 + 1) = (-0,6) \cdot (-9) = 5,4 \) Ответ: 5,4. Задание 7. Докажите кратность: \( 216^5 - 36^7 = (6^3)^5 - (6^2)^7 = 6^{15} - 6^{14} = 6^{14}(6^1 - 1) = 6^{14} \cdot 5 \) Так как один из множителей равен 5, то и всё выражение кратно 5. Что и требовалось доказать. Задание 8. Разложите на множители трёхчлен: \( x^2 + 15x + 50 = x^2 + 5x + 10x + 50 = x(x + 5) + 10(x + 5) = (x + 5)(x + 10) \)