Решение задач на экстремум функции

Задание: Найдите точки экстремума функции и определите их характер. Решение: 1) \( y = 7 + 12x - x^2 \) Найдем производную функции: \[ y' = (7 + 12x - x^2)' = 12 - 2x \] Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 12 - 2x = 0 \] \[ 2x = 12 \] \[ x = 6 \] Определим знак производной в окрестности точки \( x = 6 \): При \( x < 6 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 12 - 0 = 12 > 0 \) (функция возрастает). При \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \( y' = 12 - 14 = -2 < 0 \) (функция убывает). Так как производная меняет знак с "+" на "-", то \( x = 6 \) — точка максимума. Ответ: \( x_{max} = 6 \). 2) \( y = 3x^3 + 2x^2 - 7 \) Найдем производную функции: \[ y' = (3x^3 + 2x^2 - 7)' = 9x^2 + 4x \] Приравняем производную к нулю: \[ 9x^2 + 4x = 0 \] \[ x(9x + 4) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{4}{9} \] Определим знаки производной на интервалах: На интервале \( (-\infty; -4/9) \): \( y' > 0 \) (возрастает). На интервале \( (-4/9; 0) \): \( y' < 0 \) (убывает). На интервале \( (0; +\infty) \): \( y' > 0 \) (возрастает). В точке \( x = -4/9 \) знак меняется с "+" на "-", это точка максимума. В точке \( x = 0 \) знак меняется с "-" на "+", это точка минимума. Ответ: \( x_{max} = -\frac{4}{9} \), \( x_{min} = 0 \). 3) \( y = -2x^3 + 21x^2 + 19 \) Найдем производную функции: \[ y' = (-2x^3 + 21x^2 + 19)' = -6x^2 + 42x \] Приравняем производную к нулю: \[ -6x^2 + 42x = 0 \] \[ -6x(x - 7) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 7 \] Определим знаки производной на интервалах: На интервале \( (-\infty; 0) \): \( y' < 0 \) (убывает). На интервале \( (0; 7) \): \( y' > 0 \) (возрастает). На интервале \( (7; +\infty) \): \( y' < 0 \) (убывает). В точке \( x = 0 \) знак меняется с "-" на "+", это точка минимума. В точке \( x = 7 \) знак меняется с "+" на "-", это точка максимума. Ответ: \( x_{min} = 0 \), \( x_{max} = 7 \).