Решение задачи: Квадрат расстояния от C до центра описанной окружности

Дано: Координаты вершин треугольника \(ABC\): \(A(1; 0)\) \(B(5; 4)\) \(C(5; 0)\) Найти: квадрат расстояния от вершины \(C\) до центра описанной окружности. Решение: 1. Расстояние от любой вершины треугольника до центра описанной окружности равно радиусу этой окружности \(R\). Таким образом, нам нужно найти \(R^2\). 2. Определим вид треугольника. Для этого найдем длины его сторон по формуле расстояния между точками \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\): Сторона \(AC\): \[AC = \sqrt{(5-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4\] Сторона \(BC\): \[BC = \sqrt{(5-5)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4\] Сторона \(AB\): \[AB = \sqrt{(5-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] 3. Проверим теорему Пифагора для сторон треугольника: \[AC^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\] \[AB^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32\] Так как \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), то треугольник \(ABC\) — прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\). 4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус \(R\) равен половине гипотенузы: \[R = \frac{AB}{2}\] \[R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\] 5. Нам необходимо найти квадрат этой величины: \[R^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\] Ответ: 8