Решение задачи: расстояние от вершины до центра описанной окружности

Дано: \(A = (1; 0)\) \(B = (5; 8)\) \(C = (5; 0)\) Найти: \(R^2\), где \(R\) — расстояние от вершины \(C\) до центра описанной окружности. Решение: 1. Проанализируем вид треугольника \(ABC\). Заметим, что координаты точек \(B\) и \(C\) имеют одинаковую абсциссу (\(x = 5\)), значит сторона \(BC\) вертикальна. Точки \(A\) и \(C\) имеют одинаковую ординату (\(y = 0\)), значит сторона \(AC\) горизонтальна. Следовательно, стороны \(AC\) и \(BC\) перпендикулярны, и треугольник \(ABC\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(C\). 2. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности (точка \(O\)) лежит на середине гипотенузы \(AB\). Расстояние от любой вершины треугольника до центра описанной окружности равно радиусу этой окружности \(R\). Таким образом, искомое расстояние от вершины \(C\) до центра \(O\) равно радиусу \(R\). 3. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: \[R = \frac{AB}{2}\] 4. Найдем длину гипотенузы \(AB\) по формуле расстояния между двумя точками: \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] \[AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}\] 5. Найдем радиус \(R\): \[R = \frac{\sqrt{80}}{2}\] 6. По условию задачи необходимо найти квадрат полученной величины (\(R^2\)): \[R^2 = \left( \frac{\sqrt{80}}{2} \right)^2 = \frac{80}{4} = 20\] Ответ: 20