Решение задачи: Найти R² для треугольника ABC

Дано: \(A = (1; 0)\) \(B = (5; 8)\) \(C = (5; 0)\) Найти: \(R^2\), где \(R\) — расстояние от вершины \(C\) до центра описанной окружности. Решение: 1. Определим вид треугольника \(ABC\). Заметим, что у точек \(B\) и \(C\) одинаковая абсцисса (\(x = 5\)), значит, сторона \(BC\) параллельна оси \(Oy\). У точек \(A\) и \(C\) одинаковая ордината (\(y = 0\)), значит, сторона \(AC\) лежит на оси \(Ox\). Так как оси координат перпендикулярны, то \(AC \perp BC\). Следовательно, треугольник \(ABC\) — прямоугольный с прямым углом \(C\). 2. Из свойств геометрии известно, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Расстояние от любой вершины (в том числе от вершины \(C\)) до центра описанной окружности равно радиусу \(R\). 3. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: \[R = \frac{AB}{2}\] 4. Вычислим длину гипотенузы \(AB\) по координатам точек: \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] \[AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}\] 5. Найдем радиус \(R\): \[R = \frac{\sqrt{80}}{2}\] 6. В задаче требуется указать квадрат этой величины: \[R^2 = \left( \frac{\sqrt{80}}{2} \right)^2 = \frac{80}{4} = 20\] Ответ: 20