Решение Задачи: Нахождение Производной Функции

Задание: Найти производные функций. 1) \( y = 4 \cdot \text{arctg } x \cdot \cos 6x \) Для решения используем правило производной произведения: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \). Пусть \( u = 4 \text{arctg } x \), тогда \( u' = \frac{4}{1 + x^2} \). Пусть \( v = \cos 6x \), тогда \( v' = -\sin 6x \cdot (6x)' = -6 \sin 6x \). Находим производную функции: \[ y' = \left( \frac{4}{1 + x^2} \right) \cdot \cos 6x + 4 \text{arctg } x \cdot (-6 \sin 6x) \] Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{4 \cos 6x}{1 + x^2} - 24 \text{arctg } x \cdot \sin 6x \] 2) \( y = \ln(\arcsin 2x) \) Для решения используем правило производной сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Сначала берем производную от логарифма, затем от арксинуса, и в конце от внутренней функции \( 2x \): \[ y' = \frac{1}{\arcsin 2x} \cdot (\arcsin 2x)' \] \[ y' = \frac{1}{\arcsin 2x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot (2x)' \] \[ y' = \frac{1}{\arcsin 2x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}} \cdot 2 \] Записываем итоговый ответ в виде одной дроби: \[ y' = \frac{2}{\arcsin 2x \cdot \sqrt{1 - 4x^2}} \]