Решение задач по теории вероятностей

Ниже представлено решение задач из 2 блока, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Условие: Лампа перегорает при включении с вероятностью \( p = 0,06 \). Найти вероятность того, что она перегорит до 7-го включения. Решение: Событие «лампа перегорит до 7-го включения» означает, что она перегорит при 1-м, 2-м, 3-м, 4-м, 5-м или 6-м включении. Проще найти вероятность противоположного события: лампа НЕ перегорит в течение первых 6 включений. Вероятность того, что лампа не перегорит при одном включении: \[ q = 1 - p = 1 - 0,06 = 0,94 \] Вероятность того, что она проработает все 6 раз: \[ P_{не\,перегорит} = q^6 = 0,94^6 \approx 0,6899 \] Тогда искомая вероятность: \[ P = 1 - q^6 = 1 - 0,6899 = 0,3101 \] Ответ: 0,3101. Задание 2. Условие: Из колоды в 36 карт достают одну, записывают масть и возвращают. Опытов — 6. Найти вероятность того, что пики достанут четное количество раз. Решение: Вероятность достать пики в одном опыте: \( p = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0,25 \). Вероятность не достать пики: \( q = 1 - 0,25 = 0,75 \). Используем формулу Бернулли \( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \). Нам нужно найти сумму вероятностей для \( k = 0, 2, 4, 6 \). Существует формула для суммы вероятностей четных успехов: \[ P_{четн} = \frac{1 + (q - p)^n}{2} \] Подставим значения: \[ P = \frac{1 + (0,75 - 0,25)^6}{2} = \frac{1 + 0,5^6}{2} = \frac{1 + 0,015625}{2} = \frac{1,015625}{2} = 0,5078125 \] Ответ: 0,5078125. Задание 3. Условие: В мешке по 3 шарика 4-х цветов (всего 12). Достают 5 раз с возвращением. Сколько элементарных событий благоприятствует тому, что розовый цвет выпадет 3 раза? Решение: В данной задаче под элементарным событием понимается конкретная последовательность цветов. Сначала выберем 3 позиции из 5, на которых будет розовый цвет. Это число сочетаний: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \] На остальных 2-х позициях могут быть любые из оставшихся 3-х цветов (красный, белый, синий). Так как шарики возвращаются, для каждой из этих позиций есть по 3 варианта. Количество вариантов для не розовых позиций: \[ 3 \cdot 3 = 3^2 = 9 \] Общее количество благоприятных событий: \[ N = C_5^3 \cdot 3^2 = 10 \cdot 9 = 90 \] Ответ: 90. Задание 4. Условие: Принтер печатает строку без дефектов с вероятностью \( p = 0,95 \). На странице 15 строк. Найти вероятность того, что без дефектов будет ровно 13 строк. Решение: Используем формулу Бернулли для \( n = 15, k = 13, p = 0,95, q = 0,05 \): \[ P_{15}(13) = C_{15}^{13} \cdot p^{13} \cdot q^2 \] Вычислим сочетания: \[ C_{15}^{13} = C_{15}^2 = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105 \] Подставим значения: \[ P = 105 \cdot (0,95)^{13} \cdot (0,05)^2 \] \[ P \approx 105 \cdot 0,5133 \cdot 0,0025 \approx 0,1347 \] Ответ: 0,1347. Задание 5. Условие: Восьмигранную кость бросают 4 раза. Найти вероятность того, что число, кратное трем, выпадет ровно 2 раза. Решение: На восьмигранном кубике числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Числа, кратные трем: 3 и 6 (всего 2 числа). Вероятность успеха в одном броске: \( p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25 \). Вероятность неудачи: \( q = 1 - 0,25 = 0,75 \). Используем формулу Бернулли для \( n = 4, k = 2 \): \[ P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^2 \] \[ C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \] \[ P = 6 \cdot (0,25)^2 \cdot (0,75)^2 = 6 \cdot 0,0625 \cdot 0,5625 = 0,2109375 \] Ответ: 0,2109375.