Решение задач на скалярное произведение векторов

Решение задач по теме «Скалярное произведение векторов» Часть 1. Базовые вычисления 1. Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a} = \{3; -2\}\) и \(\vec{b} = \{-1; 4\}\). Решение: Используем формулу в координатах: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\). \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = -3 - 8 = -11\] Ответ: -11. 2. Даны векторы \(\vec{m} = \{5; 1\}\) и \(\vec{n} = \{2; -3\}\). Вычислите: а) \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 5 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 10 - 3 = 7\) б) \(|\vec{m}|^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26\) в) Сначала найдем вектор \(\vec{m} + \vec{n} = \{5+2; 1-3\} = \{7; -2\}\). Тогда \((\vec{m} + \vec{n}) \cdot \vec{m} = 7 \cdot 5 + (-2) \cdot 1 = 35 - 2 = 33\) Ответ: а) 7; б) 26; в) 33. 3. Дано: \(|\vec{p}| = 4\), \(|\vec{q}| = 6\), \(\angle(\vec{p}, \vec{q}) = 60^\circ\). Найти \(\vec{p} \cdot \vec{q}\). Решение: По определению: \(\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos 60^\circ\). \[\vec{p} \cdot \vec{q} = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 12\] Ответ: 12. Часть 2. Применение свойств 4. Докажите, что векторы \(\vec{u} = \{2; -1\}\) и \(\vec{v} = \{1; 2\}\) перпендикулярны. Доказательство: Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. \[\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 2 - 2 = 0\] Так как \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), то \(\vec{u} \perp \vec{v}\). Что и требовалось доказать. 5. Найдите угол между векторами \(\vec{c} = \{1; 3\}\) и \(\vec{d} = \{-1; 0\}\). Решение: \[\cos \alpha = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| \cdot |\vec{d}|}\] \[\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = -1\] \[|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}, \quad |\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1\] \[\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{10} \cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{10}}\] (Примечание: если в условии опечатка и \(\vec{c}=\{1; 1\}\), угол был бы красивее, но решаем по тексту). \(\alpha = \arccos(-\frac{1}{\sqrt{10}})\). 6. При каком \(k\) векторы \(\vec{a} = \{k; 3\}\) и \(\vec{b} = \{2; -4\}\) перпендикулярны? Решение: Условие перпендикулярности: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). \[k \cdot 2 + 3 \cdot (-4) = 0\] \[2k - 12 = 0 \Rightarrow 2k = 12 \Rightarrow k = 6\] Ответ: 6. Часть 3. Комбинированные задачи 7. Даны точки \(A(1, 2), B(4, 6), C(2, -1)\). Найти \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). Решение: Находим координаты векторов: \(\vec{AB} = \{4-1; 6-2\} = \{3; 4\}\) \(\vec{AC} = \{2-1; -1-2\} = \{1; -3\}\) \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) = 3 - 12 = -9\] Ответ: -9. 8. Дано: \(|\vec{x}| = 5, |\vec{y}| = 3, \vec{x} \cdot \vec{y} = 6\). Найти угол. Решение: \[\cos \alpha = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| \cdot |\vec{y}|} = \frac{6}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} = 0,4\] \(\alpha = \arccos(0,4) \approx 66^\circ\). 9. Докажите: \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\). Доказательство: Раскроем скобки по правилам распределительного закона: \[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}\] Так как \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\), то средние слагаемые взаимно уничтожаются. Учитывая, что \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\), получаем: \[|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\] Что и требовалось доказать.