Решение интеграла ∫√(arctg x)/(1+x²) dx

Найти неопределенные интегралы. а) \( \int \frac{\sqrt{\text{arctg } x}}{1 + x^2} dx \) Решение: Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Заметим, что производная функции \( \text{arctg } x \) равна \( \frac{1}{1 + x^2} \). Пусть \( t = \text{arctg } x \). Тогда дифференциал \( dt = \frac{1}{1 + x^2} dx \). Подставим эти значения в интеграл: \[ \int \sqrt{t} dt = \int t^{1/2} dt \] Используем формулу интегрирования степенной функции \( \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \): \[ \frac{t^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} t^{3/2} + C \] Вернемся к исходной переменной \( x \): \[ \frac{2}{3} (\text{arctg } x)^{3/2} + C = \frac{2}{3} \sqrt{(\text{arctg } x)^3} + C \] Ответ: \( \frac{2}{3} \sqrt{(\text{arctg } x)^3} + C \) б) \( \int (2x - 1) \cos 3x dx \) Решение: Для решения этого интеграла применим метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \). Пусть: \( u = 2x - 1 \), тогда \( du = 2 dx \) \( dv = \cos 3x dx \), тогда \( v = \int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x \) Применим формулу: \[ \int (2x - 1) \cos 3x dx = (2x - 1) \cdot \frac{1}{3} \sin 3x - \int \frac{1}{3} \sin 3x \cdot 2 dx \] \[ = \frac{2x - 1}{3} \sin 3x - \frac{2}{3} \int \sin 3x dx \] Вычислим оставшийся интеграл \( \int \sin 3x dx = -\frac{1}{3} \cos 3x \): \[ = \frac{2x - 1}{3} \sin 3x - \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{3} \cos 3x \right) + C \] \[ = \frac{2x - 1}{3} \sin 3x + \frac{2}{9} \cos 3x + C \] Ответ: \( \frac{2x - 1}{3} \sin 3x + \frac{2}{9} \cos 3x + C \)