Вычисление площади между параболами y = 2x^2 - 6x - 2 и y = -x^2 + x - 4

Задание: Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами: \[ y = 2x^2 - 6x - 2 \] \[ y = -x^2 + x - 4 \] Решение: 1. Найдем точки пересечения парабол. Для этого приравняем правые части уравнений: \[ 2x^2 - 6x - 2 = -x^2 + x - 4 \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ 2x^2 + x^2 - 6x - x - 2 + 4 = 0 \] \[ 3x^2 - 7x + 2 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \] \[ \sqrt{D} = 5 \] \[ x_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \] Пределы интегрирования: \( a = \frac{1}{3} \), \( b = 2 \). 2. Определим, какая функция находится выше на интервале \( (\frac{1}{3}; 2) \). Возьмем пробную точку \( x = 1 \): Для первой функции: \( y_1(1) = 2(1)^2 - 6(1) - 2 = 2 - 6 - 2 = -6 \) Для второй функции: \( y_2(1) = -(1)^2 + 1 - 4 = -1 + 1 - 4 = -4 \) Так как \( -4 > -6 \), то график функции \( y = -x^2 + x - 4 \) лежит выше. 3. Вычислим площадь \( S \) по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f_{верхняя}(x) - f_{нижняя}(x)) dx \] \[ S = \int_{1/3}^{2} ((-x^2 + x - 4) - (2x^2 - 6x - 2)) dx \] \[ S = \int_{1/3}^{2} (-3x^2 + 7x - 2) dx \] 4. Найдем первообразную и вычислим определенный интеграл: \[ S = \left[ -3 \cdot \frac{x^3}{3} + 7 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{1/3}^{2} \] \[ S = \left[ -x^3 + 3,5x^2 - 2x \right]_{1/3}^{2} \] Подставим верхний предел \( x = 2 \): \[ F(2) = -(2)^3 + 3,5(2)^2 - 2(2) = -8 + 14 - 4 = 2 \] Подставим нижний предел \( x = 1/3 \): \[ F(1/3) = -(\frac{1}{3})^3 + 3,5(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} \] \[ F(1/3) = -\frac{1}{27} + \frac{7}{18} - \frac{2}{3} = \frac{-2 + 21 - 36}{54} = -\frac{17}{54} \] 5. Находим искомую площадь: \[ S = F(2) - F(1/3) = 2 - (-\frac{17}{54}) = 2 + \frac{17}{54} = 2\frac{17}{54} \] Или в виде неправильной дроби: \[ S = \frac{125}{54} \approx 2,315 \] Ответ: \( S = 2\frac{17}{54} \) кв. ед.