Контрольная работа по геометрии 9 класс. Метод координат. 1 вариант

Контрольная работа по геометрии 9 класс. Метод координат. 1 вариант. Задание 1. Дано: \(\vec{a}\{3; -5\}\), \(\vec{c}\{-1; 2\}\). Разложение вектора по единичным векторам \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) имеет вид \(\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}\). \[\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j}\] \[\vec{c} = -\vec{i} + 2\vec{j}\] Задание 2. Дано: \(\vec{a}\{-6; -8\}\), \(\vec{c}\{-6; 7\}\). а) \(\vec{a} + \vec{c} = \{-6 + (-6); -8 + 7\} = \{-12; -1\}\) б) \(\vec{a} - \vec{c} = \{-6 - (-6); -8 - 7\} = \{0; -15\}\) в) \(|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) г) \(\vec{n} = -2\vec{a} + 5\vec{c}\) \(-2\vec{a} = \{12; 16\}\) \(5\vec{c} = \{-30; 35\}\) \(\vec{n} = \{12 - 30; 16 + 35\} = \{-18; 51\}\) Задание 3. Дано: \(C(3; -8)\), \(D(-1; -5)\). Координаты вектора \(\vec{CD}\): \[\vec{CD} = \{-1 - 3; -5 - (-8)\} = \{-4; 3\}\] Расстояние между точками (длина вектора): \[CD = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] Задание 4. Дано: \(M(3; 6)\), \(P(-4; -3)\). Точка \(B\) — середина \(MP\). Координаты середины отрезка: \[x_B = \frac{3 + (-4)}{2} = -0,5\] \[y_B = \frac{6 + (-3)}{2} = 1,5\] Ответ: \(B(-0,5; 1,5)\). Задание 5. Уравнение окружности с центром \(O(x_0; y_0)\) и радиусом \(R\): \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\). Дано: \(O(4; -2)\), \(R = 6\). \[(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 36\] Задание 6. Дано: \(A(2; 4)\), \(B(2; -2)\), \(C(-6; 1)\). А) Докажем, что треугольник равнобедренный, вычислив длины сторон: \[AB = \sqrt{(2-2)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6\] \[BC = \sqrt{(-6-2)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}\] \[AC = \sqrt{(-6-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}\] Так как \(BC = AC = \sqrt{73}\), треугольник \(ABC\) — равнобедренный. Б) Найдем длину медианы \(AM\). Точка \(M\) — середина \(BC\). \[x_M = \frac{2 + (-6)}{2} = -2; \quad y_M = \frac{-2 + 1}{2} = -0,5 \implies M(-2; -0,5)\] \[AM = \sqrt{(-2-2)^2 + (-0,5-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4,5)^2} = \sqrt{16 + 20,25} = \sqrt{36,25} \approx 6,02\] В) Периметр \(\triangle AMC\): Нам нужны длины \(AM\), \(MC\) и \(AC\). \(AC = \sqrt{73}\) \(MC = \frac{1}{2} BC = \frac{\sqrt{73}}{2}\) \(AM = \sqrt{36,25}\) \[P = \sqrt{73} + \frac{\sqrt{73}}{2} + \sqrt{36,25} = 1,5\sqrt{73} + \sqrt{36,25}\]