Решение задач 15 и 16 по геометрии

Ниже представлены решения задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задача 15. Дано: Треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(\cos A = \frac{4}{9}\), \(AC = 6\). Найти: \(AB\). Решение: По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \] Подставим известные значения в формулу: \[ \frac{4}{9} = \frac{6}{AB} \] Выразим \(AB\) по правилу пропорции: \[ AB = \frac{9 \cdot 6}{4} = \frac{54}{4} = 13,5 \] Ответ: 13,5. Задача 16. Дано: Трапеция \(ABCD\) описана около окружности. \(AB = 5\), \(BC = 4\), \(CD = 6\). Найти: \(AD\). Решение: По свойству четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин его противоположных сторон равны: \[ AB + CD = BC + AD \] Подставим данные значения: \[ 5 + 6 = 4 + AD \] \[ 11 = 4 + AD \] \[ AD = 11 - 4 = 7 \] Ответ: 7. Задача 17. Дано: Ромб, один из углов равен \(126^\circ\). Найти: угол между высотой и большей диагональю. Решение: 1) В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Если тупой угол равен \(126^\circ\), то острый угол ромба равен: \[ 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ \] 2) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Большая диагональ проходит через острый угол. Значит, угол между стороной ромба и большей диагональю равен: \[ 54^\circ : 2 = 27^\circ \] 3) Высота ромба образует с его стороной прямоугольный треугольник. Угол между высотой и большей диагональю в этом треугольнике будет равен: \[ 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ \] Ответ: 63. Задача 18. Дано: Два круга на клетчатой бумаге. Найти: во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего. Решение: 1) Определим радиусы кругов по клеткам: Радиус меньшего круга \(r = 1\) клетка. Радиус большего круга \(R = 2\) клетки. 2) Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). 3) Отношение площадей кругов равно квадрату отношения их радиусов: \[ \frac{S_{бол}}{S_{мен}} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \left( \frac{R}{r} \right)^2 \] \[ \left( \frac{2}{1} \right)^2 = 2^2 = 4 \] Ответ: 4.