Решение задачи о параллельности прямых a и b (Вариант 4)

Ниже представлено решение задач из варианта 4, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 (Рис. 116) Дано: углы \(\beta\) и \(2\beta\) — смежные. Угол при прямой \(b\) равен \(120^{\circ}\). Доказать: \(a \parallel b\). Доказательство: 1) Углы \(\beta\) и \(2\beta\) образуют развернутый угол, так как они смежные. Следовательно: \[\beta + 2\beta = 180^{\circ}\] \[3\beta = 180^{\circ}\] \[\beta = 60^{\circ}\] 2) Тогда угол \(2\beta = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}\). 3) Угол \(2\beta\) и угол, равный \(120^{\circ}\) при прямой \(b\), являются соответственными при пересечении прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\). 4) Так как соответственные углы равны (\(120^{\circ} = 120^{\circ}\)), то по признаку параллельности прямых \(a \parallel b\). Что и требовалось доказать. Задача 2 (Рис. 117) Найти: угол \(x\). Решение: 1) Рассмотрим вторую секущую (справа). Внутренний накрест лежащий угол для угла \(30^{\circ}\) при прямой \(a\) также равен \(30^{\circ}\). 2) Заметим, что сумма углов \(150^{\circ}\) и \(30^{\circ}\) на прямой \(a\) дает \(180^{\circ}\), что подтверждает их смежность. 3) Рассмотрим первую секущую (слева). Угол, смежный с углом \(145^{\circ}\) при прямой \(b\), равен: \[180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ}\] 4) Угол \(x\) и найденный угол \(35^{\circ}\) являются соответственными. Чтобы прямые были параллельны (исходя из контекста задачи), должно выполняться равенство. Однако, проверим сумму односторонних углов по правой секущей: \(150^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}\), значит \(a \parallel b\). 5) Так как \(a \parallel b\), то угол \(x\) и угол, вертикальный углу \(145^{\circ}\), являются внешними односторонними, либо просто найдем \(x\) как соответственный углу, смежному с \(145^{\circ}\): \[x = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ}\] Ответ: \(x = 35^{\circ}\). Задача 3 (Рис. 118) Дано: \(AB = AC\). Доказать: \(a \parallel b\). Доказательство: 1) Рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как \(AB = AC\), то треугольник равнобедренный. 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\). 3) На рисунке отмечено, что секущая \(BC\) образует с прямой \(b\) угол, равный углу \(\angle ABC\). 4) Углы \(\angle ACB\) (внутренний накрест лежащий для прямой \(a\)) и угол при прямой \(b\) равны. 5) Так как накрест лежащие углы равны, то \(a \parallel b\). Что и требовалось доказать. Задача 4 (Рис. 119) Найти: углы \(x\) и \(y\). Решение: 1) Проверим параллельность вертикальных прямых. Сумма внутренних односторонних углов: \[112^{\circ} + 68^{\circ} = 180^{\circ}\] Следовательно, вертикальные прямые параллельны. 2) Проверим параллельность горизонтальных прямых. Угол, соответственный углу \(78^{\circ}\) на нижней прямой, будет смежным с углом \(112^{\circ}\): \[180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}\] Так как \(78^{\circ} \neq 68^{\circ}\), горизонтальные прямые не параллельны. 3) Угол \(x\) является накрест лежащим с углом, смежным углу \(78^{\circ}\). Если рассматривать наклонную секущую: Угол \(y\) и угол \(x\) находятся на одной секущей. Из рисунка видно, что \(y\) и угол \(112^{\circ}\) — соответственные при параллельных вертикальных прямых: \[y = 112^{\circ}\] 4) Угол \(x\) находим через сумму углов треугольника или свойства параллельных прямых. Угол \(x\) и угол \(68^{\circ}\) являются накрест лежащими при параллельных вертикальных прямых: \[x = 68^{\circ}\] Ответ: \(x = 68^{\circ}\), \(y = 112^{\circ}\).