Решение задачи о пересечении прямой и плоскости

Ниже представлены решения задач №7, №8 и №9 из ваших карточек, оформленные для записи в тетрадь. Задание №7 Условие: Точки \(A, C, M, P\) лежат в плоскости \(\alpha\), а точка \(B \notin \alpha\). Постройте точку пересечения прямой \(MP\) с плоскостью \(ABC\). Решение: 1. Плоскость \(ABC\) пересекается с плоскостью \(\alpha\) по прямой \(AC\), так как точки \(A\) и \(C\) принадлежат обеим плоскостям. 2. Прямая \(MP\) лежит в плоскости \(\alpha\), так как точки \(M\) и \(P\) по условию лежат в \(\alpha\). 3. Чтобы найти точку пересечения прямой \(MP\) с плоскостью \(ABC\), нужно найти точку её пересечения с линией пересечения плоскостей, то есть с прямой \(AC\). 4. Построение: Продлим отрезок \(MP\) и прямую \(AC\) до их взаимного пересечения. 5. Точка \(X = MP \cap AC\) и будет искомой точкой пересечения прямой \(MP\) с плоскостью \(ABC\). Задание №8 Условие: Плоскости \(\alpha \parallel \beta\). Прямая \(a \parallel a_1\). Прямая \(a\) пересекает \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(A\) и \(B\). Прямая \(a_1\) пересекает \(\alpha\) в точке \(A_1\). Постройте точку пересечения \(a_1\) с \(\beta\). Решение: 1. Через две параллельные прямые \(a\) и \(a_1\) проходит единственная плоскость \(\gamma\). 2. Плоскость \(\gamma\) пересекает параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) по параллельным прямым. 3. Линия пересечения \(\gamma \cap \alpha\) — это прямая \(AA_1\). 4. Линия пересечения \(\gamma \cap \beta\) должна быть прямой, проходящей через точку \(B\) и параллельной \(AA_1\). 5. Построение: В плоскости \(\beta\) через точку \(B\) проведем прямую \(b \parallel AA_1\). 6. Искомая точка \(B_1\) — это точка пересечения прямой \(a_1\) и построенной прямой \(b\). \[ B_1 = a_1 \cap b \] Задание №9 Условие: Параллелограммы \(ABCD\) и \(ADFE\) лежат в разных плоскостях. Прямая \(n \parallel BC\), пересекает плоскости \(ABE\) и \(DCF\) в точках \(T\) и \(K\). Докажите, что \(TKFE\) — параллелограмм. Доказательство: 1. В параллелограмме \(ABCD\): \(BC \parallel AD\). Так как по условию \(n \parallel BC\), то по свойству транзитивности параллельности \(n \parallel AD\). 2. В параллелограмме \(ADFE\): \(EF \parallel AD\). 3. Так как \(n \parallel AD\) и \(EF \parallel AD\), то \(n \parallel EF\). Следовательно, прямая \(TK\) (которая лежит на \(n\)) параллельна \(EF\): \[ TK \parallel EF \] 4. Рассмотрим плоскости \((ABE)\) и \((DCF)\). \(AB \parallel DC\) (стороны параллелограмма \(ABCD\)); \(AE \parallel DF\) (стороны параллелограмма \(ADFE\)). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости (\(AB\) и \(AE\)) соответственно параллельны двум прямым другой плоскости (\(DC\) и \(DF\)), то такие плоскости параллельны: \((ABE) \parallel (DCF)\). 5. Прямая \(n\) пересекает эти параллельные плоскости в точках \(T\) и \(K\). Отрезок \(EF\) соединяет эти плоскости (так как \(E \in (ABE)\) и \(F \in (DCF)\)). 6. Поскольку \(TK \parallel EF\) и они заключены между параллельными плоскостями, то \(TK = EF\). 7. В четырехугольнике \(TKFE\) две противоположные стороны параллельны и равны (\(TK \parallel EF\) и \(TK = EF\)). Следовательно, \(TKFE\) — параллелограмм по признаку. Что и требовалось доказать.