Решение задачи: Углы между плоскостями (KAD)/(KCD) и (ABC)

Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(AB = BC = 5\) см. \(KB \perp AB\), \(KB \perp BC\), следовательно \(KB \perp (ABC)\). \(KB = 12\) см. Найти: \(\sin \alpha\) (между \((KAD)\) и \((ABC)\)), \(\sin \beta\) (между \((KCD)\) и \((ABC)\)). Решение: 1. Найдем угол \(\alpha\) между плоскостями \((KAD)\) и \((ABC)\). Линия пересечения плоскостей — прямая \(AD\). Так как \(KB \perp (ABC)\), то \(AB\) — проекция наклонной \(KA\) на плоскость квадрата. В квадрате \(AB \perp AD\). По теореме о трех перпендикулярах \(KA \perp AD\). Значит, \(\angle KAB\) — линейный угол двугранного угла между плоскостями \((KAD)\) и \((ABC)\). Следовательно, \(\alpha = \angle KAB\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(KAB\) (\(\angle B = 90^\circ\)): По теореме Пифагора найдем гипотенузу \(KA\): \[KA = \sqrt{KB^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\] Синус угла \(\alpha\): \[\sin \alpha = \frac{KB}{KA} = \frac{12}{13}\] 3. Найдем угол \(\beta\) между плоскостями \((KCD)\) и \((ABC)\). Линия пересечения плоскостей — прямая \(CD\). Аналогично, \(BC\) — проекция наклонной \(KC\) на плоскость квадрата. В квадрате \(BC \perp CD\). По теореме о трех перпендикулярах \(KC \perp CD\). Значит, \(\angle KCB\) — линейный угол двугранного угла между плоскостями \((KCD)\) и \((ABC)\). Следовательно, \(\beta = \angle KCB\). 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(KCB\) (\(\angle B = 90^\circ\)): Так как стороны квадрата равны (\(BC = AB = 5\) см), треугольник \(KCB\) равен треугольнику \(KAB\). Гипотенуза \(KC = KA = 13\) см. Синус угла \(\beta\): \[\sin \beta = \frac{KB}{KC} = \frac{12}{13}\] Ответ: \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\); \(\sin \beta = \frac{12}{13}\).