Решение задачи: Расчет Асимметрии и Эксцесса

Для выполнения задания по расчету асимметрии и эксцесса для параметра X, необходимо последовательно вычислить среднее арифметическое, среднеквадратичное отклонение, а затем применить формулы из задания. 1. Расчет среднего арифметического \(\bar{x}\): Сумма всех значений X: \[\sum x_i = 22,3 + 26,3 + 24,1 + 21,6 + 25,1 + 23,7 + 23,7 + 19,7 + 23,3 + 24,3 + 19,3 + 22,5 + 22 + 26,8 + 24,4 + 19,3 + 19,3 + 26,3 + 20,3 + 23 = 457,6\] Количество значений \(n = 20\). \[\bar{x} = \frac{457,6}{20} = 22,88\] 2. Расчет дисперсии \(\sigma^2\) и среднеквадратичного отклонения \(\sigma\): Вычислим сумму квадратов отклонений \(\sum (x_i - \bar{x})^2\): \[\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 115,43\] \[\sigma^2 = \frac{115,43}{20} = 5,7715\] \[\sigma = \sqrt{5,7715} \approx 2,402\] 3. Расчет асимметрии \(A\): Используем формулу: \(A = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^3}{n \cdot \sigma^3}\) Сумма кубов отклонений \(\sum (x_i - \bar{x})^3 \approx -11,34\) \[A = \frac{-11,34}{20 \cdot (2,402)^3} = \frac{-11,34}{20 \cdot 13,86} = \frac{-11,34}{277,2} \approx -0,041\] 4. Расчет эксцесса \(E\): Используем формулу: \(E = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^4}{n \cdot \sigma^4} - 3\) Сумма отклонений в четвертой степени \(\sum (x_i - \bar{x})^4 \approx 1125,6\) \[E = \frac{1125,6}{20 \cdot (5,7715)^2} - 3 = \frac{1125,6}{20 \cdot 33,31} - 3 = \frac{1125,6}{666,2} - 3 \approx 1,69 - 3 = -1,31\] Вывод о соответствии нормальности: Для нормального распределения показатели асимметрии \(A\) и эксцесса \(E\) должны быть равны нулю. В данном случае полученное значение асимметрии \(A \approx -0,041\) близко к нулю, что говорит о почти симметричном распределении. Однако значение эксцесса \(E \approx -1,31\) существенно отличается от нуля в отрицательную сторону. Это указывает на то, что распределение является плосковершинным по сравнению с нормальным. Таким образом, исследуемая совокупность параметра X имеет отклонения от теоретического нормального распределения.