Решение задачи на коэффициент корреляции Пирсона

Для расчета коэффициента корреляции Пирсона \(r\) нам понадобятся средние значения для \(X\) и \(Y\), а также суммы произведений их отклонений. 1. Средние значения: \[\bar{x} = 22,88\] \[\bar{y} = \frac{55,7 + 75,3 + 54,6 + 63,9 + 65,5 + 62,5 + 63,8 + 53,2 + 63,5 + 55,4 + 51 + 64,8 + 60,8 + 67 + 58 + 71,4 + 71,4 + 48,2 + 47,2 + 58,3}{20} = \frac{1211,5}{20} = 60,575\] 2. Расчет необходимых сумм (используя отклонения \(x_i - \bar{x}\) и \(y_i - \bar{y}\)): Обозначим \(dx_i = (x_i - \bar{x})\) и \(dy_i = (y_i - \bar{y})\). Сумма квадратов отклонений \(X\): \[\sum (x_i - \bar{x})^2 = 115,43\] Сумма квадратов отклонений \(Y\): \[\sum (y_i - \bar{y})^2 \approx 1114,4\] Сумма произведений отклонений \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\): Вычислим попарно: \((-0,58 \cdot -4,875) + (3,42 \cdot 14,725) + (1,22 \cdot -5,975) + ... \approx 14,36\) 3. Подставляем в формулу коэффициента корреляции Пирсона: \[r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}\] \[r = \frac{14,36}{\sqrt{115,43 \cdot 1114,4}} = \frac{14,36}{\sqrt{128635,19}} = \frac{14,36}{358,66} \approx 0,04\] Вывод: Полученное значение коэффициента корреляции \(r \approx 0,04\) свидетельствует о том, что между параметром X и параметром Y наблюдается крайне слабая (практически отсутствующая) прямая линейная зависимость. В отечественной науке и статистической практике такие значения интерпретируются как отсутствие статистически значимой связи между исследуемыми факторами в рамках данной выборки. Это говорит о независимости процессов, описываемых данными параметрами.