schoolМатематика
verifiedРешено AI
Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Для расчета коэффициента Спирмена необходимо отранжировать значения X и Y, присваивая порядковые номера. При повторяющихся значениях вычисляется средний ранг.
Подробное решение
Задание: Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена.
Для решения задачи составим рабочую таблицу. Сначала отранжируем значения \(X\) (присвоим порядковые номера от меньшего к большему), а затем проделаем то же самое для \(Y\). Если значения повторяются, им присваивается среднее арифметическое их рангов.
Объем выборки \(n = 20\).
Таблица расчетов:
1. \(X = 19,3\) (трижды: №11, 16, 17). Ранги 1, 2, 3. Средний ранг: \((1+2+3)/3 = 2\).
2. \(X = 19,7\) (№8). Ранг 4.
3. \(X = 20,3\) (№19). Ранг 5.
4. \(X = 21,6\) (№4). Ранг 6.
5. \(X = 22,0\) (№13). Ранг 7.
6. \(X = 22,3\) (№1). Ранг 8.
7. \(X = 22,5\) (№12). Ранг 9.
8. \(X = 23,0\) (№20). Ранг 10.
9. \(X = 23,3\) (№9). Ранг 11.
10. \(X = 23,7\) (дважды: №6, 7). Ранги 12, 13. Средний ранг: \(12,5\).
11. \(X = 24,1\) (№3). Ранг 14.
12. \(X = 24,3\) (№10). Ранг 15.
13. \(X = 24,4\) (№15). Ранг 16.
14. \(X = 25,1\) (№5). Ранг 17.
15. \(X = 26,3\) (дважды: №2, 18). Ранги 18, 19. Средний ранг: \(18,5\).
16. \(X = 26,8\) (№14). Ранг 20.
Аналогично проводим ранжирование для \(Y\).
Сводная таблица рангов и разностей:
№ | X | Y | Ранг X (\(R_x\)) | Ранг Y (\(R_y\)) | \(d = R_x - R_y\) | \(d^2\)
1 | 22,3 | 55,7 | 8 | 6 | 2 | 4
2 | 26,3 | 75,3 | 18,5 | 20 | -1,5 | 2,25
3 | 24,1 | 54,6 | 14 | 5 | 9 | 81
4 | 21,6 | 63,9 | 6 | 13 | -7 | 49
5 | 25,1 | 65,5 | 17 | 16 | 1 | 1
6 | 23,7 | 62,5 | 12,5 | 10 | 2,5 | 6,25
7 | 23,7 | 63,8 | 12,5 | 12 | 0,5 | 0,25
8 | 19,7 | 53,2 | 4 | 4 | 0 | 0
9 | 23,3 | 63,5 | 11 | 11 | 0 | 0
10 | 24,3 | 55,4 | 15 | 7 | 8 | 64
11 | 19,3 | 51,0 | 2 | 3 | -1 | 1
12 | 22,5 | 64,8 | 9 | 15 | -6 | 36
13 | 22,0 | 60,8 | 7 | 9 | -2 | 4
14 | 26,8 | 67,0 | 20 | 17 | 3 | 9
15 | 24,4 | 58,0 | 16 | 8 | 8 | 64
16 | 19,3 | 71,4 | 2 | 18,5 | -16,5 | 272,25
17 | 19,3 | 71,4 | 2 | 18,5 | -16,5 | 272,25
18 | 26,3 | 48,2 | 18,5 | 2 | 16,5 | 272,25
19 | 20,3 | 47,2 | 5 | 1 | 4 | 16
20 | 23,0 | 58,3 | 10 | 14 | -4 | 16
Сумма квадратов разностей рангов:
\[ \sum d^2 = 4 + 2,25 + 81 + 49 + 1 + 6,25 + 0,25 + 0 + 0 + 64 + 1 + 36 + 4 + 9 + 64 + 272,25 + 272,25 + 272,25 + 16 + 16 = 1180,5 \]
Рассчитаем коэффициент корреляции Спирмена по формуле:
\[ \rho = 1 - \frac{6 \cdot \sum d^2}{n(n^2 - 1)} \]
Подставляем значения (\(n = 20\)):
\[ \rho = 1 - \frac{6 \cdot 1180,5}{20(20^2 - 1)} \]
\[ \rho = 1 - \frac{7083}{20(400 - 1)} \]
\[ \rho = 1 - \frac{7083}{20 \cdot 399} \]
\[ \rho = 1 - \frac{7083}{7980} \]
\[ \rho = 1 - 0,8876 \]
\[ \rho = 0,1124 \]
Ответ: Коэффициент корреляции Спирмена \(\rho \approx 0,11\). Связь между параметрами X и Y слабая и положительная.