Расчет средних значений интервалов и вероятностей

Продолжим решение задачи на основе полученных ранее интервалов и частот для параметра X. 4. Расчет средних значений интервалов \( X_{icp} \). Среднее значение находится как \( X_{icp} = \frac{X_{i, нач} + X_{i, кон}}{2} \). \[ X_{1cp} = \frac{18,55 + 20,05}{2} = 19,3 \] \[ X_{2cp} = \frac{20,05 + 21,55}{2} = 20,8 \] \[ X_{3cp} = \frac{21,55 + 23,05}{2} = 22,3 \] \[ X_{4cp} = \frac{23,05 + 24,55}{2} = 23,8 \] \[ X_{5cp} = \frac{24,55 + 26,05}{2} = 25,3 \] \[ X_{6cp} = \frac{26,05 + 27,55}{2} = 26,8 \] 5. Расчет экспериментальных вероятностей \( P_i \). Вероятность рассчитывается по формуле \( P_i = \frac{f_i}{n} \), где \( n = 20 \). \[ P_1 = \frac{4}{20} = 0,20 \] \[ P_2 = \frac{1}{20} = 0,05 \] \[ P_3 = \frac{5}{20} = 0,25 \] \[ P_4 = \frac{6}{20} = 0,30 \] \[ P_5 = \frac{1}{20} = 0,05 \] \[ P_6 = \frac{3}{20} = 0,15 \] Сумма вероятностей: \( \sum P_i = 0,20 + 0,05 + 0,25 + 0,30 + 0,05 + 0,15 = 1,0 \). 6. Расчет математического ожидания \( M \). \[ M = \sum X_{icp} \cdot P_i \] \[ M = 19,3 \cdot 0,20 + 20,8 \cdot 0,05 + 22,3 \cdot 0,25 + 23,8 \cdot 0,30 + 25,3 \cdot 0,05 + 26,8 \cdot 0,15 \] \[ M = 3,86 + 1,04 + 5,575 + 7,14 + 1,265 + 4,02 = 22,9 \] 7. Расчет дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \sum (X_{icp} - M)^2 \cdot P_i \). \[ D = (19,3 - 22,9)^2 \cdot 0,2 + (20,8 - 22,9)^2 \cdot 0,05 + (22,3 - 22,9)^2 \cdot 0,25 + (23,8 - 22,9)^2 \cdot 0,3 + (25,3 - 22,9)^2 \cdot 0,05 + (26,8 - 22,9)^2 \cdot 0,15 \] \[ D = (-3,6)^2 \cdot 0,2 + (-2,1)^2 \cdot 0,05 + (-0,6)^2 \cdot 0,25 + (0,9)^2 \cdot 0,3 + (2,4)^2 \cdot 0,05 + (3,9)^2 \cdot 0,15 \] \[ D = 12,96 \cdot 0,2 + 4,41 \cdot 0,05 + 0,36 \cdot 0,25 + 0,81 \cdot 0,3 + 5,76 \cdot 0,05 + 15,21 \cdot 0,15 \] \[ D = 2,592 + 0,2205 + 0,09 + 0,243 + 0,288 + 2,2815 = 5,715 \] 8. Расчет среднеквадратического отклонения \( \sigma \). \[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{5,715} \approx 2,39 \] 9. Нормирование границ интервалов \( t_i \). Формула: \( t_i = \frac{X_i - M}{\sigma} \). Рассчитаем для каждой границы (от \( X_0 \) до \( X_6 \)). \[ t_0 = \frac{18,55 - 22,9}{2,39} = \frac{-4,35}{2,39} \approx -1,82 \] \[ t_1 = \frac{20,05 - 22,9}{2,39} = \frac{-2,85}{2,39} \approx -1,19 \] \[ t_2 = \frac{21,55 - 22,9}{2,39} = \frac{-1,35}{2,39} \approx -0,56 \] \[ t_3 = \frac{23,05 - 22,9}{2,39} = \frac{0,15}{2,39} \approx 0,06 \] \[ t_4 = \frac{24,55 - 22,9}{2,39} = \frac{1,65}{2,39} \approx 0,69 \] \[ t_5 = \frac{26,05 - 22,9}{2,39} = \frac{3,15}{2,39} \approx 1,32 \] \[ t_6 = \frac{27,55 - 22,9}{2,39} = \frac{4,65}{2,39} \approx 1,95 \]