Решение самостоятельной работы: Простейшие задачи в координатах

Решение самостоятельной работы по теме: «Простейшие задачи в координатах» (Вариант I). Задание 1. Найдите координаты вектора \( \vec{AB} \), если \( A(-7; 6) \), \( B(-1; 2) \). Решение: Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала вектора: \[ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) \] \[ \vec{AB} = (-1 - (-7); 2 - 6) \] \[ \vec{AB} = (-1 + 7; -4) \] \[ \vec{AB} = (6; -4) \] Ответ: \( \vec{AB}(6; -4) \). Задание 2. Найдите длину вектора \( \vec{a} \), если \( \vec{a}(-7; 6) \). Решение: Длина вектора \( \vec{a}(x; y) \) вычисляется по формуле: \[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-7)^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \] Ответ: \( \sqrt{85} \). Задание 3. Найдите координаты точки \( K \), которая является серединой отрезка \( MN \), если \( M(6; -5) \), \( N(3; -9) \). Решение: Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов: \[ x_K = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{6 + 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \] \[ y_K = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-5 + (-9)}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \] Ответ: \( K(4,5; -7) \). Задание 4. Найдите расстояние между точками \( M \) и \( N \), т.е. длину отрезка \( MN \), если \( M(6; -5) \), \( N(3; -9) \). Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле: \[ MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} \] \[ MN = \sqrt{(3 - 6)^2 + (-9 - (-5))^2} \] \[ MN = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Ответ: 5. Задание 5. Найдите медиану \( CD \) треугольника \( ABC \), вершины которого имеют координаты: \( A(-1; 2) \), \( B(5; -6) \), \( C(6; 4) \). Решение: 1) Точка \( D \) — середина стороны \( AB \), так как \( CD \) — медиана. Найдем координаты точки \( D \): \[ x_D = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_D = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + (-6)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Точка \( D(2; -2) \). 2) Найдем длину медианы \( CD \) как расстояние между точками \( C(6; 4) \) и \( D(2; -2) \): \[ CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} \] \[ CD = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-2 - 4)^2} \] \[ CD = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Ответ: \( 2\sqrt{13} \).