Решение задачи: Координаты вектора и отрезка

Самостоятельная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах» Вариант II 1. Найдите координаты вектора MN, если M(4; -5), N(7; -9). Решение: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала: \[ \vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M) \] \[ \vec{MN} = (7 - 4; -9 - (-5)) = (3; -9 + 5) = (3; -4) \] Ответ: \( \vec{MN}(3; -4) \). 2. Найдите длину вектора, если M(4; -5), N(7; -9). Решение: Длина вектора \( \vec{MN}(x; y) \) вычисляется по формуле: \[ |\vec{MN}| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Используя координаты из первой задачи: \[ |\vec{MN}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Ответ: 5. 3. Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, если A(-2; 1), B(-10; -5). Решение: Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов: \[ x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + (-10)}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \] \[ y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Ответ: C(-6; -2). 4. Найдите расстояние между точками A и B, т.е. длину отрезка AB, если A(-2; 1), B(-10; -5). Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-10 - (-2))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} \] \[ AB = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] Ответ: 10. 5. Найдите медиану BD треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: A(-2; -3), B(-3; 5), C(4; 1). Решение: Медиана BD проведена к стороне AC, значит точка D — середина отрезка AC. Находим координаты точки D: \[ x_D = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_D = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Точка D имеет координаты (1; -1). Теперь найдем длину медианы BD (расстояние между точками B(-3; 5) и D(1; -1)): \[ BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} \] \[ BD = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2} \] \[ BD = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \] Ответ: \( 2\sqrt{13} \).