Решение №480: Найти значение выражения

№ 480. Найти значение выражения. 1) \(\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{6}\) Подставим табличные значения тригонометрических функций: \[ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Вычислим: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = 0,5 - 0,75 = -0,25 \] Ответ: \(-0,25\) (или \(-\frac{1}{4}\)). 2) \(2 \text{tg}^2 \frac{\pi}{3} - \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6}\) Подставим значения: \[ \text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, \quad \text{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] Вычислим: \[ 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2} = 2 \cdot 3 - 3 - 0,5 = 6 - 3 - 0,5 = 2,5 \] Ответ: \(2,5\). 3) \((\text{tg} \frac{\pi}{4} - \text{ctg} \frac{\pi}{3})(\text{ctg} \frac{\pi}{4} + \text{tg} \frac{\pi}{6})\) Подставим значения: \[ \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1, \quad \text{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1, \quad \text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Вычислим: \[ (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) \] Используем формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \[ 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Ответ: \(\frac{2}{3}\). 4) \(2 \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \text{tg} \frac{\pi}{6}\) Подставим значения: \[ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Вычислим: \[ 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6}{4} - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \] Приведем к общему знаменателю 12: \[ \frac{3 \cdot 3 + 4 \cdot \sqrt{3}}{12} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{12} \] Ответ: \(\frac{9 + 4\sqrt{3}}{12}\).