Нахождение области определения функции

Задание: Найти область определения функции \( y = \frac{5}{4} \arccos \frac{x^2}{25} - \log_4(10x - x^2 - 16) \). Решение: Область определения данной функции задается системой неравенств, исходя из ограничений для арккосинуса и логарифма. 1. Аргумент функции \( \arccos(t) \) должен находиться в промежутке \( [-1; 1] \): \[ -1 \le \frac{x^2}{25} \le 1 \] Так как \( x^2 \ge 0 \), левая часть неравенства выполняется всегда. Рассмотрим правую часть: \[ \frac{x^2}{25} \le 1 \] \[ x^2 \le 25 \] \[ |x| \le 5 \implies -5 \le x \le 5 \] То есть \( x \in [-5; 5] \). 2. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \[ 10x - x^2 - 16 > 0 \] Умножим на \(-1\), меняя знак неравенства: \[ x^2 - 10x + 16 < 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 10x + 16 = 0 \) через дискриминант или по теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 10, \quad x_1 \cdot x_2 = 16 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 8 \] Решением неравенства \( (x - 2)(x - 8) < 0 \) является интервал: \[ x \in (2; 8) \] 3. Найдем пересечение полученных условий: \[ \begin{cases} -5 \le x \le 5 \\ 2 < x < 8 \end{cases} \] На числовой прямой пересечением этих промежутков будет интервал: \[ x \in (2; 5] \] Ответ: (2; 5]