Укажите уравнение изображенной кривой. Решение.

Задание: Укажите уравнение изображенной кривой. Решение: На рисунке изображена кривая в полярной системе координат \( (\rho, \varphi) \). Проверим предложенные варианты уравнений, подставляя характерные значения угла \( \varphi \). 1. Рассмотрим точку на отрицательной части горизонтальной оси. Для нее угол \( \varphi = \pi \) (или \( 180^\circ \)). По графику видно, что в этой точке расстояние от начала координат \( \rho = 2 \). Проверим варианты: - \( \rho = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2 \) (подходит) - \( \rho = 1 + \sqrt{2} \cos(\pi) = 1 - \sqrt{2} \approx -0,41 \) (не подходит) - \( \rho = 2 |\sin(\pi)| = 0 \) (не подходит) - \( \rho = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2 \) (подходит) 2. Рассмотрим точки на вертикальной оси. Для них угол \( \varphi = \frac{\pi}{2} \) (вверх) и \( \varphi = \frac{3\pi}{2} \) (вниз). По графику видно, что в этих точках \( \rho = \sqrt{2} \). Проверим оставшиеся варианты: - Для \( \rho = 1 - \cos \varphi \): \( \rho(\frac{\pi}{2}) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1 \). Это не равно \( \sqrt{2} \). Вариант не подходит. - Для \( \rho = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \): \( \rho(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \). Это совпадает с графиком. Проверим для нижней точки (\( \varphi = \frac{3\pi}{2} \)): \( \rho(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \). Также совпадает. 3. Проверим точку в начале координат (\( \rho = 0 \)). На графике кривая выходит из нуля при \( \varphi = 0 \). \( \rho(0) = 2 \sin(0) = 0 \). Подходит. Таким образом, уравнение \( \rho = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \) полностью описывает данную кривую (это одна из форм кардиоиды). Ответ: \( \rho = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \)