Решение задачи: Анализ графика и параметрические уравнения

Для решения данной задачи проанализируем график функции и предложенные варианты параметрических уравнений. 1. Анализ графика: На рисунке изображен отрезок прямой линии, проходящий через начало координат \( (0,0) \). Концы этого отрезка имеют координаты \( (3, 2) \) и \( (-3, -2) \). Это означает, что переменная \( x \) изменяется в пределах от \(-3\) до \(3\), а переменная \( y \) — от \(-2\) до \(2\). 2. Связь между x и y: Так как это прямая линия, проходящая через начало координат, зависимость между \( y \) и \( x \) линейная: \[ y = k \cdot x \] Подставим координаты точки \( (3, 2) \): \[ 2 = k \cdot 3 \implies k = \frac{2}{3} \] Следовательно, уравнение прямой: \( y = \frac{2}{3}x \). 3. Проверка вариантов ответа: Вариант 1: \[ \begin{cases} x = 3\cos^3 t \\ y = 2\sin^3 t \end{cases} \] Эта система описывает астроиду (кривую, вогнутую к центру), а не прямую линию. Вариант 2: \[ \begin{cases} x = 3\sin t \\ y = 2\sin t \end{cases} \] Выразим \( \sin t \) из обоих уравнений: \[ \sin t = \frac{x}{3}, \quad \sin t = \frac{y}{2} \] Приравняем их: \[ \frac{x}{3} = \frac{y}{2} \implies y = \frac{2}{3}x \] Это уравнение прямой линии. Поскольку область значений функции \( \sin t \) ограничена интервалом \( [-1, 1] \), то \( x \) будет принимать значения от \(-3\) до \(3\), а \( y \) — от \(-2\) до \(2\). Это полностью соответствует графику. Вариант 3: \[ \begin{cases} x = 3\sin t \\ y = 2\cos t \end{cases} \] Это параметрическое уравнение эллипса, так как \( (\frac{x}{3})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 1 \). Вариант 4: \[ \begin{cases} x = 3\sin^3 t \\ y = 2\cos^3 t \end{cases} \] Это также уравнение кривой типа астроиды, смещенной по фазе. Ответ: Правильным является второй вариант: \[ \begin{cases} x = 3\sin t \\ y = 2\sin t \end{cases} \]