| \( P \) | \( Q \) | \( \neg P \) | \( P \supset Q \) | \( \neg P \lor Q \) | \( (P \supset Q) \sim (\neg P \lor Q) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
schoolМатематика
verifiedРешено AI
Доказательство тавтологии (P ⊃ Q) ≡ (¬P ∨ Q)
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Формула (P ⊃ Q) ≡ (¬P ∨ Q) является тавтологией. Это доказывается построением таблицы истинности, которая показывает, что формула истинна при любых значениях P и Q.
Подробное решение
Задание: Проверить, что формула является тавтологией.
\[ a \equiv (P \supset Q) \sim (\neg P \lor Q) \]
Для проверки того, является ли формула тавтологией (то есть истинной при любых значениях входящих в неё переменных), составим таблицу истинности. В формуле две переменные: \( P \) и \( Q \). Следовательно, будет \( 2^2 = 4 \) комбинации значений.
Разберем операции:
1. \( \neg P \) — отрицание \( P \).
2. \( P \supset Q \) — импликация (ложна только когда из истины следует ложь).
3. \( \neg P \lor Q \) — дизъюнкция (ложна только когда оба операнда ложны).
4. \( \sim \) — эквиваленция (истинна, когда значения левой и правой частей совпадают).
Таблица истинности:
Вывод:
Так как в последнем столбце таблицы для всех наборов значений переменных \( P \) и \( Q \) получена единица (истина), данная формула является тавтологией.
Это подтверждает известное правило логики, согласно которому импликация \( P \supset Q \) по определению эквивалентна выражению \( \neg P \lor Q \).