| \( x \) | \( y \) | \( z \) | \( xyz \) | \( x \oplus y \) | \( f(x, y, z) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
schoolМатематика
verifiedРешено AI
Приведение функции xyz ⊃ (x ⊕ y) к СДНФ и СКНФ
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Приводим функцию xyz ⊃ (x ⊕ y) к СДНФ и СКНФ, используя таблицу истинности. Подробное решение с объяснениями и таблицей истинности.
Подробное решение
Задание: Привести к СДНФ и СКНФ функцию \( f(x, y, z) = xyz \supset (x \oplus y) \).
Для нахождения совершенных нормальных форм удобнее всего сначала построить таблицу истинности функции. У нас три переменные, значит будет \( 2^3 = 8 \) строк.
Операции:
1. \( xyz \) — конъюнкция трех переменных (истинна только когда все равны 1).
2. \( x \oplus y \) — сложение по модулю 2 (истинно, когда значения \( x \) и \( y \) различны).
3. \( \supset \) — импликация.
Таблица истинности:
1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
СДНФ составляется по строкам, где функция равна 1. Для каждой такой строки записывается конъюнкция переменных: если переменная равна 0, берем её с отрицанием, если 1 — без.
\[ СДНФ = (\neg x \neg y \neg z) \lor (\neg x \neg y z) \lor (\neg x y \neg z) \lor (\neg x y z) \lor (x \neg y \neg z) \lor (x \neg y z) \lor (x y \neg z) \]
2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
СКНФ составляется по строкам, где функция равна 0. У нас такая строка только одна: (1, 1, 1). Для неё записывается дизъюнкция переменных с инверсией (если переменная равна 1, берем её с отрицанием).
\[ СКНФ = (\neg x \lor \neg y \lor \neg z) \]
Ответ:
СДНФ: \( (\neg x \neg y \neg z) \lor (\neg x \neg y z) \lor (\neg x y \neg z) \lor (\neg x y z) \lor (x \neg y \neg z) \lor (x \neg y z) \lor (x y \neg z) \)
СКНФ: \( \neg x \lor \neg y \lor \neg z \)