Решение предела: lim(x→∞) ((5x^3 - 3) / (5x^3))^x^3

Для решения данного предела воспользуемся вторым замечательным пределом. Запишем исходное выражение: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x^3 - 3}{5x^3} \right)^{x^3} \] Шаг 1. Поделим почленно числитель на знаменатель внутри скобок: \[ \frac{5x^3 - 3}{5x^3} = \frac{5x^3}{5x^3} - \frac{3}{5x^3} = 1 - \frac{3}{5x^3} \] Теперь предел выглядит так: \[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{5x^3} \right)^{x^3} \] Шаг 2. Вспомним формулу второго замечательного предела: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{k}{n} \right)^n = e^k \] В нашем случае роль \( n \) играет \( x^3 \), а роль константы \( k \) играет дробь \( -\frac{3}{5} \). Шаг 3. Преобразуем показатель степени, чтобы привести выражение к стандартному виду: \[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{-3/5}{x^3} \right)^{x^3} \] Согласно формуле, предел равен числу \( e \) в степени, соответствующей коэффициенту при \( \frac{1}{x^3} \): \[ e^{-3/5} \] Шаг 4. Запишем окончательный ответ в удобном виде: \[ e^{-3/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{e^3}} \] Ответ: \[ e^{-0,6} \text{ или } \frac{1}{e^{0,6}} \]