Решение задач из карточки: испытания Бернулли

Ниже представлено решение задач из карточки, оформленное для записи в тетрадь. Задание 4. Сколько элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли благоприятствует 3 успехам? Решение: Количество элементарных событий, в которых наступает ровно \(k\) успехов в серии из \(n\) испытаний, определяется числом сочетаний из \(n\) по \(k\): \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] По условию \(n = 10\), \(k = 3\). \[C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120\] Ответ: 120. Задание 5. В студенческом общежитии на ужин предлагается курица с гречкой или лазанья. На ужин пришли 26 студентов и сделали свой выбор. Сколько в данном выборе комбинаций, если 14 студентов выбирают лазанью? Решение: Задача сводится к поиску числа способов выбрать 14 человек из 26, которые предпочли лазанью (остальные автоматически выберут курицу). \[C_{26}^{14} = \frac{26!}{14!(26-14)!} = \frac{26!}{14! \cdot 12!}\] Вычислим значение: \[C_{26}^{14} = \frac{15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24 \cdot 25 \cdot 26}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12} = 9\,657\,700\] Ответ: 9 657 700. Задание 6. Провели опыт, состоящий из 4 испытаний Бернулли. Определи вероятность наступления хотя бы одного успеха в серии испытаний, если вероятность успеха равна 0,2. Решение: Событие "наступил хотя бы один успех" противоположно событию "не наступило ни одного успеха" (\(k = 0\)). Вероятность неудачи в одном испытании: \(q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8\). Вероятность того, что в 4 испытаниях будет 0 успехов: \[P(0) = q^n = 0,8^4 = 0,4096\] Вероятность хотя бы одного успеха: \[P(k \ge 1) = 1 - P(0) = 1 - 0,4096 = 0,5904\] Ответ: 0,5904. Задание 7. Узнай вероятность того, что тройка выпадет ровно два раза, если игральную кость бросают 8 раз. Решение: Используем формулу Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\). Здесь \(n = 8\), \(k = 2\). Вероятность выпадения тройки при одном броске: \(p = \frac{1}{6}\). Вероятность невыпадения тройки: \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). \[C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\] \[P_8(2) = 28 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6 = 28 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{15625}{46656} = \frac{7}{9} \cdot \frac{15625}{46656} = \frac{109375}{419904} \approx 0,2605\] Ответ: \(\approx 0,2605\).