Найти параметр a в функции плотности распределения вероятностей

Задача: Найти значение параметра \(a\) для функции плотности распределения вероятностей. Дано: Функция плотности распределения имеет вид: \[f(x) = ax^2 + 3x\] на отрезке \([0; 1]\), и \(f(x) = 0\) вне этого отрезка. Решение: Для того чтобы функция была плотностью распределения вероятностей, должно выполняться условие нормировки: интеграл от функции плотности по всей числовой прямой должен быть равен единице. \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1\] Так как функция отлична от нуля только на отрезке \([0; 1]\), запишем интеграл в этих пределах: \[\int_{0}^{1} (ax^2 + 3x) dx = 1\] Вычислим определенный интеграл: \[\left[ \frac{ax^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = 1\] Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \[\left( \frac{a \cdot 1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} \right) - \left( \frac{a \cdot 0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) = 1\] \[\frac{a}{3} + \frac{3}{2} = 1\] Решим полученное уравнение относительно \(a\): \[\frac{a}{3} = 1 - \frac{3}{2}\] \[\frac{a}{3} = 1 - 1,5\] \[\frac{a}{3} = -0,5\] \[a = -0,5 \cdot 3\] \[a = -1,5\] Проверим условие неотрицательности плотности \(f(x) \ge 0\) на отрезке \([0; 1]\) при \(a = -1,5\): \(f(x) = -1,5x^2 + 3x = 1,5x(2 - x)\). На интервале \((0; 1)\) множители \(1,5x\) и \((2 - x)\) положительны, значит \(f(x) \ge 0\). Условие выполняется. Ответ: d. -1,5