Решение Контрольной Работы №1 по теме «Треугольники», Вариант 2

Контрольная работа №1 по теме «Треугольники» Вариант 2. №1. Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный, \(AC\) — основание, \(BD\) — биссектриса, \(\angle ABD = 35^{\circ}\). Найти: \(\angle ABC\). Решение: Так как \(BD\) — биссектриса угла \(ABC\), то она делит этот угол пополам. Следовательно: \[\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD\] \[\angle ABC = 2 \cdot 35^{\circ} = 70^{\circ}\] Ответ: \(70^{\circ}\). №2. Дано: \(\triangle ABC\), \(AM\) — медиана, \(AM = BM\), \(\angle ABC = 30^{\circ}\), \(\angle MCA = 60^{\circ}\). Найти: \(\angle BAC\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle ABM\). Так как \(AM = BM\), то треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle BAM = \angle ABM = 30^{\circ}\). 2) Так как \(AM\) — медиана, то \(BM = MC\). Учитывая, что \(AM = BM\), получаем \(AM = MC\). 3) Рассмотрим \(\triangle AMC\). Так как \(AM = MC\), то треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle MAC = \angle MCA = 60^{\circ}\). 4) Находим искомый угол: \[\angle BAC = \angle BAM + \angle MAC = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}\] Ответ: \(90^{\circ}\). №3. Дано: \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(\angle CAD = 62^{\circ}\), \(\angle ACD = 33^{\circ}\). Найти: \(\angle BCA\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). \(AB = CD\) (по условию), \(BC = AD\) (по условию), \(AC\) — общая сторона. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 2) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Стороне \(AD\) в \(\triangle CDA\) соответствует сторона \(BC\) в \(\triangle ABC\). Значит: \[\angle BCA = \angle CAD = 62^{\circ}\] Ответ: \(62^{\circ}\). №4. Дано: \(AB = BC\), \(CD = DK\), \(\angle ABC = 37^{\circ}\), \(\angle BAC = 106^{\circ}\). Найти: \(\angle DKC\). Решение: 1) В \(\triangle ABC\) сумма углов равна \(180^{\circ}\). Однако, если \(AB = BC\), то \(\angle BAC = \angle BCA = 106^{\circ}\). Но \(106^{\circ} + 106^{\circ} = 212^{\circ}\), что больше \(180^{\circ}\). Вероятно, в условии опечатка в значениях углов или чертеже. 2) Если предположить, что \(\angle BAC\) — это внешний угол или данные иные, решим по логике чертежа: вертикальные углы \(\angle BCA\) и \(\angle DCK\) равны. 3) В \(\triangle ABC\): \(\angle BCA = 180^{\circ} - (106^{\circ} + 37^{\circ}) = 37^{\circ}\). 4) Тогда \(\angle DCK = \angle BCA = 37^{\circ}\). 5) Так как \(CD = DK\), то \(\triangle CDK\) — равнобедренный, \(\angle DKC = \angle DCK = 37^{\circ}\). Ответ: \(37^{\circ}\). №5. Дано: \(\triangle FLK\), \(FL = KL\), \(\angle 1 = 60^{\circ}\). Найти: \(\angle 2\). Решение: 1) Угол \(\angle LKF\) и \(\angle 1\) — смежные. \[\angle LKF = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\] 2) Так как \(FL = KL\), то \(\triangle FLK\) — равнобедренный с основанием \(FK\). Углы при основании должны быть равны: \(\angle LFK = \angle LKF = 120^{\circ}\). 3) Однако сумма углов треугольника \(180^{\circ}\), а \(120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}\). Это означает, что основанием является \(LK\), либо угол \(\angle 1\) — это внешний угол при вершине. 4) Если \(\angle 1\) — внешний угол при основании \(FK\), то \(\angle LKF = 60^{\circ}\) (как вертикальный, если смотреть на чертеж). Тогда \(\angle LFK = 60^{\circ}\). 5) Угол \(\angle 2\) и \(\angle LFK\) — смежные: \[\angle 2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\] Ответ: \(120^{\circ}\).