Решение задач по теории вероятностей: кости и монеты

Вариант – 2 Задача 1. При броске игральной кости всего возможных исходов \( n = 6 \) (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6). а) Событие А: «выпало число очков, кратное 6». Благоприятный исход только один: {6}, то есть \( m = 1 \). Вероятность: \( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6} \). б) Событие B: «выпавшее число является составным». Составные числа на кубике — это те, которые имеют более двух делителей: {4, 6}. Значит, \( m = 2 \). Вероятность: \( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Задача 2. При броске монеты 2 раза всего исходов \( n = 2^2 = 4 \): (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Событие А: «выпала хотя бы 1 решка». Благоприятные исходы: (О, Р), (Р, О), (Р, Р), то есть \( m = 3 \). Вероятность: \( P(A) = \frac{3}{4} = 0,75 \). Задача 3. При броске двух костей всего исходов \( n = 6 \cdot 6 = 36 \). а) Событие А: «сумма очков равна 10». Благоприятные исходы: (4, 6), (5, 5), (6, 4), то есть \( m = 3 \). Вероятность: \( P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \). б) Событие B: «на первой кости меньше, чем на второй». Всего 36 исходов. Из них в 6 случаях числа равны. В остальных 30 случаях либо первое больше второго, либо второе больше первого (поровну). Благоприятных исходов \( m = \frac{36 - 6}{2} = 15 \). Вероятность: \( P(B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \). Задача 4. Всего кабинок \( n = 30 \). Синих — 3, зеленых — 21. Красных кабинок: \( 30 - 3 - 21 = 6 \). а) Событие А: «прокатится в красной кабинке». \( m = 6 \). Вероятность: \( P(A) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0,2 \). б) Событие B: «не в зеленой кабинке». Это значит в синей или красной: \( m = 3 + 6 = 9 \). Вероятность: \( P(B) = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0,3 \). Задача 5. Всего товаров 3 (Р, Т, Л). Общее число перестановок \( n = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \). Варианты: (РТЛ, РЛТ, ТРЛ, ТЛР, ЛРТ, ЛТР). а) Сначала линейка: (ЛРТ, ЛТР), \( m = 2 \). \( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). б) Тетрадь последняя: (РЛТ, ЛРТ), \( m = 2 \). \( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). в) Сначала линейка, в конце ручка: (ЛТР), \( m = 1 \). \( P = \frac{1}{6} \). г) Тетрадь раньше ручки: в половине случаев Т раньше Р, в половине наоборот. \( m = 3 \). \( P = \frac{3}{6} = 0,5 \). Задача 6. Всего полей на шахматной доске \( n = 64 \). Слон может перейти на поле, если он стоит на той же диагонали. А) Поле b3. Оно черное. Слон может попасть на него, только если он стоит на черном поле. Всего черных полей 32. Одно из них — само b3. Количество полей, с которых можно попасть на b3, равно количеству полей на его диагоналях (не считая само b3). Для b3 диагонали: (a2, b3, c4, d5, e6, f7, g8) и (a4, b3, c2, d1). Итого полей: \( 6 + 3 = 9 \). Вероятность: \( P = \frac{9}{64} \). Б) Поле e5. Оно белое. Диагонали: (a1, b2, c3, d4, e5, f6, g7, h8) и (h2, g3, f4, e5, d6, c7, b8). Итого полей: \( 7 + 6 = 13 \). Вероятность: \( P = \frac{13}{64} \).