Решение контрольной работы №1. Обобщение понятия степени

Контрольная работа №1. Обобщение понятия степени. Задание 1. По определению степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \). Следовательно: \( 6^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{6^5} \). Ответ: в. Задание 2. По определению логарифма: \( \log_a b = c \), если \( a^c = b \). Проверим вариант б): \( 5^2 = 25 \). Это верно. Ответ: б. Задание 3. Вычислим значение выражения: \[ 3^{\frac{4}{5}} \cdot (3^9)^{\frac{1}{27}} : 3^{\frac{2}{15}} = 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{9 \cdot \frac{1}{27}} : 3^{\frac{2}{15}} = 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} : 3^{\frac{2}{15}} \] При умножении показатели складываются, при делении — вычитаются: \[ 3^{\frac{4}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{15}} = 3^{\frac{12+5-2}{15}} = 3^{\frac{15}{15}} = 3^1 = 3 \] Ответ: 3. Задание 4. Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \): \[ 9^{\log_9 6} = 6 \] Ответ: 6. Задание 5. Сравним выражения \( (-\frac{8}{9})^{-21} \) и \( (\frac{8}{9})^{-21} \). Заметим, что показатель степени \( -21 \) — нечетное число. Отрицательное число в нечетной степени всегда отрицательно: \( (-\frac{8}{9})^{-21} < 0 \). Положительное число в любой степени положительно: \( (\frac{8}{9})^{-21} > 0 \). Следовательно: \[ (-\frac{8}{9})^{-21} < (\frac{8}{9})^{-21} \] Задание 6. Вычислим по частям: 1) \( 25^{\log_5 \sqrt{3}} = (5^2)^{\log_5 \sqrt{3}} = 5^{2 \log_5 \sqrt{3}} = 5^{\log_5 (\sqrt{3})^2} = 5^{\log_5 3} = 3 \) 2) \( 0,01^{\lg 5} = (10^{-2})^{\lg 5} = 10^{-2 \lg 5} = 10^{\lg 5^{-2}} = 5^{-2} = \frac{1}{25} = 0,04 \) 3) \( \log_3 \sqrt[5]{\sqrt{3}} = \log_3 (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} = \log_3 3^{\frac{1}{10}} = \frac{1}{10} = 0,1 \) Итоговое значение: \[ 3 + 0,04 - 0,1 = 2,94 \] Ответ: 2,94. Задание 7. Сократим дробь: \[ \frac{1 - x^{0,25}}{x^{0,75} - x^{0,5}} = \frac{1 - x^{0,25}}{x^{0,5}(x^{0,25} - 1)} = \frac{-(x^{0,25} - 1)}{x^{0,5}(x^{0,25} - 1)} = -\frac{1}{x^{0,5}} = -x^{-0,5} \] Ответ: \( -x^{-0,5} \) или \( -\frac{1}{\sqrt{x}} \). Задание 8. Вычислим слагаемые: 1) \( \log_{64} \log_4 \sqrt[4]{\sqrt{4}} = \log_{64} \log_4 (4^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = \log_{64} \log_4 4^{\frac{1}{8}} = \log_{64} \frac{1}{8} \) Так как \( 64 = 8^2 \), то \( \log_{64} \frac{1}{8} = \log_{8^2} 8^{-1} = -\frac{1}{2} \) 2) \( \log_{25} 5 = \log_{5^2} 5 = \frac{1}{2} \) 3) \( \log_{\frac{2}{3}} 1,5 = \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} = \log_{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3})^{-1} = -1 \) Суммируем: \[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-1) = 0 + 1 = 1 \] Ответ: 1. Задание 9. Упростим выражение в скобках. Пусть \( x^{\frac{1}{5}} = a \). Тогда: \[ \frac{a^3 - a}{a^2 - 1} - 2a + 1 = \frac{a(a^2 - 1)}{a^2 - 1} - 2a + 1 = a - 2a + 1 = 1 - a \] Теперь умножим на вторую часть (заметим, что \( 1 - x^{\frac{2}{5}} = (1 - a)(1 + a) \)): \[ (1 - a) \cdot \frac{1 + a}{1 - a^2} = (1 - a) \cdot \frac{1 + a}{(1 - a)(1 + a)} = 1 \] Ответ: 1. Задание 10. Область определения функции \( y = f(x)^g \): 1) Для \( (x^2 - 7x + 12)^{5,3} \): основание должно быть неотрицательным (так как показатель положительный), но обычно для степенных функций с дробным показателем требуют \( x^2 - 7x + 12 \ge 0 \). \( (x-3)(x-4) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 3] \cup [4; +\infty) \). 2) Для \( (\frac{36 - x^2}{x + 5})^{-\frac{3}{5}} \): так как показатель отрицательный, основание должно быть строго больше нуля: \[ \frac{36 - x^2}{x + 5} > 0 \Rightarrow \frac{(6-x)(6+x)}{x+5} > 0 \] Методом интервалов: \( x \in (-\infty; -6) \cup (-5; 6) \). Пересекаем условия: \( x \in ((-\infty; -6) \cup (-5; 6)) \cap ((-\infty; 3] \cup [4; +\infty)) \) Результат: \( x \in (-\infty; -6) \cup (-5; 3] \cup [4; 6) \).