Решение задачи: Параллелограмм, площадь и стороны

Задача №1 Дано: ABCD — параллелограмм; \(BD \perp AD\) (диагональ является высотой); \(BD = 9\) см; \(S_{ABCD} = 108\) см\(^2\). Найти: стороны параллелограмма. Решение: 1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[S = a \cdot h\] где \(a\) — основание, \(h\) — высота. В нашем случае основанием является сторона \(AD\), а высотой — диагональ \(BD\). \[108 = AD \cdot 9\] \[AD = 108 : 9 = 12 \text{ (см)}\] Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то \(BC = AD = 12\) см. 2. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Так как \(BD\) — высота, то \(\angle ADB = 90^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABD\) — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем гипотенузу \(AB\): \[AB^2 = AD^2 + BD^2\] \[AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\] \[AB = \sqrt{225} = 15 \text{ (см)}\] Так как противоположные стороны равны, то \(CD = AB = 15\) см. Ответ: 12 см, 15 см, 12 см, 15 см. Задача №2 Дано: ABCD — трапеция (\(AD \parallel BC\)); \(AB = 12\) см, \(BC = 14\) см, \(AD = 30\) см; \(\angle B = 150^\circ\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\). \[\angle A + \angle B = 180^\circ\] \[\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\] 2. Проведем высоту \(BH\) из вершины \(B\) к основанию \(AD\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[BH = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ (см)}\] 3. Найдем площадь трапеции по формуле: \[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH\] \[S = \frac{30 + 14}{2} \cdot 6 = \frac{44}{2} \cdot 6 = 22 \cdot 6 = 132 \text{ (см}^2)\] Ответ: 132 см\(^2\). Задача №3 Дано: Ромб; \(d_2 = d_1 + 4\); \(S = 96\) см\(^2\). Найти: сторону ромба \(a\). Решение: 1. Площадь ромба через диагонали: \[S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2\] Подставим известные значения: \[96 = \frac{1}{2} d_1 \cdot (d_1 + 4)\] \[192 = d_1^2 + 4d_1\] \[d_1^2 + 4d_1 - 192 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 = 28^2\] \[d_1 = \frac{-4 + 28}{2} = 12 \text{ (см)}\] (второй корень отрицательный, не подходит). Тогда вторая диагональ: \[d_2 = 12 + 4 = 16 \text{ (см)}\] 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба \(a\): Катеты равны: \(\frac{12}{2} = 6\) см и \(\frac{16}{2} = 8\) см. По теореме Пифагора: \[a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\] \[a = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}\] Ответ: 10 см.