Решение задачи из билета №19 по математике

Ниже представлено решение задач из экзаменационного билета № 19 по дисциплине «Специальные главы математики». Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Экзаменационный билет № 19 Задание 3. По признаку Даламбера у ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n}\) предел \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\) равен: Решение: Общий член ряда: \(u_n = \frac{3^n}{n}\). Следующий член ряда: \(u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{n+1}\). Найдем предел отношения: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{3^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^n \cdot 3 \cdot n}{(n+1) \cdot 3^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1} = 3 \] Ответ: А) 3. Задание 4. По признаку Даламбера у ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\) предел \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\) равен: Решение: Общий член ряда: \(u_n = \frac{n}{2^n}\). Следующий член ряда: \(u_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\). Найдем предел отношения: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1) \cdot 2^n}{2^n \cdot 2 \cdot n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} \] Ответ: Е) 1/2. Задание 5. В группе 40 стрелков: 10 — отлично, 20 — хорошо, 6 — удовлетворительно, 4 — плохо. Вероятности попадания: 0,9; 0,8; 0,6 и 0,4 соответственно. Найти вероятность того, что наугад вызванный стрелок попадет в цель. Решение: Используем формулу полной вероятности. Пусть событие \(A\) — стрелок попал в цель. Выдвинем гипотезы: \(H_1\) — вызван «отличный» стрелок, \(P(H_1) = \frac{10}{40} = 0,25\); \(H_2\) — вызван «хороший» стрелок, \(P(H_2) = \frac{20}{40} = 0,5\); \(H_3\) — вызван «удовлетворительный» стрелок, \(P(H_3) = \frac{6}{40} = 0,15\); \(H_4\) — вызван «плохой» стрелок, \(P(H_4) = \frac{4}{40} = 0,1\). Условные вероятности попадания: \(P(A|H_1) = 0,9\); \(P(A|H_2) = 0,8\); \(P(A|H_3) = 0,6\); \(P(A|H_4) = 0,4\). По формуле полной вероятности: \[ P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3) + P(H_4) \cdot P(A|H_4) \] \[ P(A) = 0,25 \cdot 0,9 + 0,5 \cdot 0,8 + 0,15 \cdot 0,6 + 0,1 \cdot 0,4 \] \[ P(A) = 0,225 + 0,4 + 0,09 + 0,04 = 0,755 \] Ответ: 0,755.