Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

Ниже представлены ответы на теоретические вопросы 1 и 2 из вашего экзаменационного билета. Они сформулированы кратко и понятно, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вопрос 1. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Для исследования знакопеременных рядов на абсолютную сходимость используются признаки Даламбера и Коши, применяемые к ряду из абсолютных величин \( \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| \). 1. Признак Даламбера: Пусть существует предел отношения последующего члена к предыдущему по модулю: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = L \] - Если \( L < 1 \), то ряд сходится абсолютно. - Если \( L > 1 \) (или \( L = \infty \)), то ряд расходится. - Если \( L = 1 \), то признак не дает ответа. 2. Радикальный признак Коши: Пусть существует предел: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = L \] - Если \( L < 1 \), то ряд сходится абсолютно. - Если \( L > 1 \), то ряд расходится. - Если \( L = 1 \), то признак не дает ответа. Также для знакочередующихся рядов применяется признак Лейбница: если \( |u_{n+1}| \le |u_n| \) и \( \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \), то ряд сходится. Вопрос 2. Теоремы сложения вероятностей. Теоремы сложения позволяют найти вероятность появления хотя бы одного из событий. 1. Для несовместных событий (которые не могут произойти одновременно): Вероятность суммы двух несовместных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей: \[ P(A + B) = P(A) + P(B) \] 2. Для совместных событий (которые могут произойти одновременно): Вероятность суммы двух совместных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления: \[ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] 3. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу: Если события \( H_1, H_2, ..., H_n \) образуют полную группу (одно из них обязательно произойдет), то сумма их вероятностей равна единице: \[ \sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1 \] Эти фундаментальные правила математики, активно применяемые в российской науке и образовании, позволяют точно прогнозировать результаты сложных процессов.