Доказательство: Площадь треугольника равна 1/2 * a * b * sin(α)

Задача: Доказать, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними. Доказательство: 1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть \( a \) и \( b \) — длины двух его сторон (например, \( BC = a \) и \( AC = b \)), а \( \alpha \) — угол между ними (угол C). 2. Проведем высоту \( h \) из вершины B к стороне AC (или к продолжению стороны AC). 3. Известно, что площадь треугольника \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \] В нашем случае основанием является сторона \( AC = b \), а высотой — отрезок \( h \). То есть: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \] 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \). По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике, синус угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета (высоты \( h \)) к гипотенузе (стороне \( a \)): \[ \sin \alpha = \frac{h}{a} \] 5. Выразим высоту \( h \) из этого равенства: \[ h = a \cdot \sin \alpha \] 6. Подставим полученное выражение для \( h \) в формулу площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (a \cdot \sin \alpha) \] 7. Переставим множители для удобства: \[ S = \frac{1}{2} a b \sin \alpha \] Что и требовалось доказать.