Решение: Переход от точечного оценивания к интервальному

Вопрос 84. Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются: Правильный ответ: d. эффективными и несмещенными Обоснование для тетради: Для того чтобы построить надежный доверительный интервал для параметров регрессии, оценки этих параметров, полученные по методу наименьших квадратов (МНК), должны обладать определенными свойствами (согласно теореме Гаусса-Маркова). 1. Несмещенность означает, что математическое ожидание оценки равно истинному значению параметра: \[ M(\hat{\beta}) = \beta \] Если оценка смещенная, то интервал будет центрирован относительно неверного значения, что делает его бессмысленным. 2. Эффективность означает, что оценка обладает минимальной дисперсией в классе линейных несмещенных оценок. Минимальная дисперсия \( Var(\hat{\beta}) \) критически важна для интервального оценивания, так как ширина доверительного интервала напрямую зависит от стандартной ошибки оценки: \[ \hat{\beta} - t_{\alpha} \cdot \sqrt{Var(\hat{\beta})} < \beta < \hat{\beta} + t_{\alpha} \cdot \sqrt{Var(\hat{\beta})} \] Если оценки неэффективны или смещены, статистические выводы и интервальные границы будут недостоверными. Поэтому для корректного перехода к интервальному оцениванию требуется выполнение условий несмещенности и эффективности.