Решение задачи: Пробит-модель и изменение дисперсии

Вопрос 90. Рассмотрим простую пробит-модель \( Y_i = \begin{cases} 1, Y_i^* > 0 \\ 0, Y_i^* \le 0 \end{cases} \), \( Y_i^* = \beta_1 + \beta_2 \cdot X_i + \varepsilon_i \). Обычно предполагается, что \( \varepsilon_i \sim N(0; 1) \). Как изменятся оценки коэффициентов, если мы предположим, что \( \varepsilon_i \sim N(0; 4) \)? Правильный ответ: b. Ровно в 2 раза Обоснование для тетради: В моделях бинарного выбора (таких как пробит-модель) мы наблюдаем только результат \( Y_i \) (0 или 1), но не саму скрытую переменную \( Y_i^* \). 1. Вероятность того, что \( Y_i = 1 \), определяется следующим образом: \[ P(Y_i = 1) = P(Y_i^* > 0) = P(\beta_1 + \beta_2 X_i + \varepsilon_i > 0) = P(\varepsilon_i > -\beta_1 - \beta_2 X_i) \] 2. В пробит-модели используется стандартное нормальное распределение. Чтобы перейти от произвольного распределения \( \varepsilon_i \sim N(0; \sigma^2) \) к стандартному \( N(0; 1) \), нужно разделить все части неравенства на среднеквадратическое отклонение \( \sigma \): \[ P\left(\frac{\varepsilon_i}{\sigma} > \frac{-\beta_1 - \beta_2 X_i}{\sigma}\right) \] 3. В данной задаче дисперсия \( \sigma^2 \) увеличилась с 1 до 4. Следовательно, среднеквадратическое отклонение \( \sigma \) равно: \[ \sigma = \sqrt{4} = 2 \] 4. Поскольку в модели оцениваются отношения \( \frac{\beta}{\sigma} \), то при увеличении \( \sigma \) в 2 раза, чтобы вероятность осталась прежней (соответствовала тем же наблюдаемым данным \( Y_i \)), оценки коэффициентов \( \beta \) должны увеличиться ровно в 2 раза. Таким образом, параметры пробит-модели идентифицируемы только с точностью до масштаба \( \sigma \). Если мы фиксируем другое значение \( \sigma \), оценки коэффициентов изменятся пропорционально изменению среднеквадратического отклонения.