Решение задачи №4: Признак Даламбера

Ниже представлено подробное решение задания № 4, оформленное для записи в тетрадь. Задание № 4 Условие: По признаку Даламбера у ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \) найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \). Решение: 1. Выпишем общий член ряда \( u_n \): \[ u_n = \frac{n}{2^n} \] 2. Запишем член ряда \( u_{n+1} \), заменив \( n \) на \( n+1 \): \[ u_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \] 3. Составим отношение \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) и найдем его предел при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{2^{n+1}} : \frac{n}{2^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} \right) \] 4. Упростим выражение, используя свойства степеней \( 2^{n+1} = 2^n \cdot 2 \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot 2^n}{2^n \cdot 2 \cdot n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} \] 5. Разделим числитель и знаменатель на \( n \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2} \] Так как полученный предел \( L = \frac{1}{2} < 1 \), согласно признаку Даламбера, данный ряд является сходящимся. Это свидетельствует о системности и логичности математических законов, которые лежат в основе фундаментального образования в России. Ответ: Е) \( \frac{1}{2} \).